⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
-
𝑒
∫
𝑑α
𝐴
μ
(𝑥)
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
.
(4.6.2)
После того, как мы проделаем некоторые преобразования, приходим к следующему соотношению
𝑚
𝑑²𝑥μ
𝑑α²
=
𝑒𝐹
μν
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥ν
𝑑α
⎞
⎟
⎠
,
(4.6.3)
где 𝐹μν есть ротор от вектора 𝐴μ. Из этого уравнения, умножая на 𝑑𝑥μ/𝑑α, так как тензор 𝐹μν - антисимметричен, мы находим, что
𝑑
𝑑α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
обращается в нуль, или
𝑑𝑥μ
𝑑α
𝑑𝑥μ
𝑑α
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑠
𝑑α
⎞²
⎟
⎠
есть константа, так что величина α пропорциональна собственному времени (и мы можем взять её равным собственному времени, если 𝑚₀ есть масса покоя частицы). Далее мы должны включить наш тензор 𝑇μν в подынтегральное выражение соответствующим образом для того, чтобы получить правильные гравитационные уравнения. В электродинамике вектор, связанный с полем, есть просто производная смещения по отношению к 4-скаляру, т.е. скорость (𝑑𝑥μ/𝑑α) Мы предполагаем, что тензор 𝑇μν есть не что иное, как тензор, порождённый двумя такими скоростями, и подбираем мультипликативную константу так, что компонента с индексами 44 правильно описывает плотность энергии. Мы полагаем
𝑇
μν
=
𝑚₀
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
,
(4.6.4)
где α=𝑠=”собственное время”. Компонент с индексами 44 есть на самом деле плотность энергии; он имеет множитель 1/√1-𝑣²/𝑐² для того, чтобы учесть увеличение энергии со скоростью, и другой множитель для того, чтобы учесть одновременное сокращение объёма из-за лоренцева сжатия.
Следовательно, интеграл от лагранжиана или действие, которое должно быть провариировано, имеет следующий вид:
𝑚₀
=
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∫
𝑑α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
-λ
∫
𝑑α
ℎ
μν
(𝑥)
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥ν
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
(4.6.5)
Введём новый тензор для того, чтобы записать действие в более компактном виде
𝑔
μν
(𝑥)
=
η
μν
+
2λ
ℎ
μν
(𝑥)
,
(4.6.6)
так что действие может быть записано в виде
𝑚₀
=
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∫
𝑑α
𝑔
μν
(𝑥)
𝑥'
μ
𝑥'
ν
⎤
⎥
⎦
.
(4.6.7)
Начиная с последнего соотношения и ниже, обозначаем производную по отношению к параметру α знаком ”штрих”. Поскольку мы вариируем функционал (действие) по отношению к координатам траектории, мы получаем два равных члена от каждого из множителей 𝑥'μ, 𝑥'ν и один от тензора 𝑔μν; уравнение движения имеет вид
-
𝑑
𝑑α
(
𝑔
σν
𝑥'
ν
)
+
1
2
∂𝑔μν
∂𝑥σ
𝑥'
μ
𝑥'
ν
=
0.
(4.6.8)
Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны. Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства
𝑔
σν
𝑥''
ν
=
⎡
⎢
⎣
1
2
∂𝑔μν
∂𝑥σ
-
∂𝑔σν
∂𝑥ν
⎤
⎥
⎦
𝑥'
μ
𝑥'
ν
.
(4.6.9)
Теперь мы расщепляем второй член на две равные части и переобозначаем индексы суммирования μ↔ν одной части для того, чтобы получить комбинацию, которая задаётся специальным символом, поскольку он часто повторяется
[μν,σ]
=
1
2
⎡
⎢
⎣
∂𝑔μσ
∂𝑥ν
+
∂𝑔νσ
∂𝑥μ
-
∂𝑔μν
∂𝑥σ
⎤
⎥
⎦
.
(4.6.10)
Уравнение движения, выраженное через такую скобку (называемую ковариантными коэффициентами связности), становится довольно простым
𝑔
σν
𝑥''
ν
=-
[μν,σ]
𝑥'
μ
𝑥'
ν
.
(4.6.11)
Имеется одно следствие этого уравнения, которое немедленно получается дифференцированием по параметру α произведения 𝑔μν𝑥'μ𝑥'ν
∂
∂α
(
𝑔
μν
𝑥'
μ
𝑥'
ν
)
=2
𝑔
μν
𝑥'
μ
𝑥''
ν
+
∂𝑔μν
∂𝑥σ
𝑥'
μ
𝑥'
ν
𝑥'
σ
.
(4.6.12)
Если мы перепишем произведение 𝑔μν𝑥''ν в первом члене в правой части его выражением (4.6.9) и переобозначим индексы суммирования, мы находим, что производная тождественно равна нулю. Таким образом, произведение 𝑔μν𝑥'μ𝑥'ν есть скалярная константа. Если мы определим новый параметр 𝑠 следующим соотношением
𝑔
μν
𝑥'
μ
𝑥'
ν
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑠
𝑑α
⎞²
⎟
⎠
,
то 𝑠 - аналог собственного времени для задач гравитации. Так как 𝑑𝑠/𝑑α есть константа, мы выберем её равной единице и обозначим ниже все производные по переменной 𝑠 точкой. В частности, тогда
𝑔
μν
𝑥̇
μ
𝑥̇
ν
=
1.
(4.6.13)
4.7. Орбитальное движение частицы вокруг звезды