Фейнмановские лекции по гравитации

𝑔'

_μν,σ

=

𝑔

_μν,σ

+

𝑔

_μλ,σ

ζ

^λ

_,ν

+

𝑔

_μλ,σ

ζ

^λ

_,μ

+

𝑔

_μλ

ζ

^λ

_,νσ

+

+

𝑔

_νλ

ζ

^λ

_,μσ

+

ζ

^λ

𝑔

_μν,λσ

+

ζ

^λ

_,σ

𝑔

_μν,λ

,

(6.4.1)

но когда все операции сложения и вычитания, жонглирования индексами проведены, выполнена симметризация, мы находим

[μν,σ]'

=

[μν,σ]

+

[μλ,σ]

ζ

^λ

_,ν

+

[νλ,σ]

ζ

^λ

_,μ

+

+

[μν,λ]

ζ

^λ

_,σ

+

ζ

^λ

[μν,σ]

_,λ

-

𝑔

_σλ

ζ

^λ

_,μν

,

(6.4.2)

где появляется только одна вторая производная ζ^λ_,μν. Теперь мы должны избавиться от компонент метрического тензора с нижними индексами, умножая на обратную матрицу. Сначала введём новое обозначение, которое упростит преобразования. Мы положим

𝑔

^τσ

[μν,σ]

=

Γ

τ

μν

.

(6.4.3)

Если мы умножаем соотношение (6.4.2) на 𝑔^στ для того, чтобы отделить оставшуюся вторую производную, то соотношение принимает вид, где используются новые символы (называемые коэффициентами голономной связности или символами Кристоффеля)

Γ

τ

μν

'

=

Γ

τ

μν

+

Γ

τ

μλ

ζ

^λ

_,ν

+

Γ

τ

νλ

ζ

^λ

_,μ

-

Γ

λ

μν

ζ

^τ

_,λ

+

+

Γ

τ

μν,λ

ζ

^λ

-

ζ

^τ

_,μν

.

(6.4.4)

Это соотношение автоматически симметрично по μν. Для того, чтобы продвинуться дальше в наших рассуждениях, продифференцируем ещё раз. Если мы дифференцируем это соотношение по новому индексу ρ и вычитаем соответствующее уравнение, имеющее переставленные индексы ρ и ν, то только следующие члены остаются не сокращёнными при этом вычитании

Γ

τ

μν,ρ

'

-

Γ

τ

μρ,ν

'

=

Γ

τ

μλ,ρ

ζ

^λ

_,ν

+

Γ

τ

νλ,ρ

ζ

^λ

_,μ

+

Γ

τ

μν,ρλ

ζ

^λ

+

+

Γ

τ

ρλ

ζ

^λ

_,μν

-

Γ

λ

μν

ζ

^τ

_,λρ

-

- минус члены, где индексы ν и ρ переставлены.

(6.4.5)

Теперь трюк заключается в том, чтобы избавиться от двух вторых производных. Они умножаются на индексы Кристоффеля. Но в соотношении (6.4.4) мы имеем выражение, которое даёт как раз ζ^λ_,μν. Мы будем использовать это выражение для того, чтобы заместить члены на те, которые стоят в соотношении (6.4.5). Это может быть выполнено путём вычисления произведения двух соотношений, таких как (6.4.4); мы видим, что индексы у символов Кристоффеля Γ одного члена такие же, как и индексы у ζ в другом члене; так что взяв произведения двух соотношений (6.4.4), одно из которых берётся со множеством индексов (τρλ), другое со множеством (λμν), переставляя (τ,μ,ν) и складывая с соотношением (6.4.5), вторые производные сокращаются.

Введём новую величину 𝑅^τ_μνρ, определённую следующим образом

𝑅

^τ

_μνρ

=

Γ

τ

μν,ρ

+

Γ

τ

ρλ

Γ

λ

μν

-

Γ

τ

μρ,ν

-

Γ

τ

νλ

Γ

λ

μρ

.

(6.4.6)

Заметим, что этот тензор явно антисимметричен по индексам ρ и ν. Используя это обозначение, получаем наконец следующее соотношение

𝑅'

^τ

_μνρ

=

𝑅

^τ

_μνρ

+

ζ

^λ

_,ν

𝑅

^τ

_μλρ

+

ζ

^λ

_,ρ

𝑅

^τ

_μνλ

+

+

ζ

^λ

_,ν

𝑅

^τ

_λνρ

+

ζ

^τ

_,λ

𝑅

^λ

_μρν

+

ζ

^λ

𝑅

^τ

_μνρ,λ

.

(6.4.7)

То, что мы должны теперь делать, это обращаться с этим уравнением так же, как мы обращались с уравнением (6.3.5), которое имеет ту же самую форму, исключая то, что тензор в последнем соотношении предпочтительнее включать тензор 𝑅^τ_μνρ, а не 𝑔_σν. Процедура, полностью аналогичная той, которая была рассмотрена ранее, приводит к ответу для инвариантной величины 𝐹:

𝐹

=-

1

2λ²

∫

𝑑τ

𝑔

^μν