𝑥'τ
=
η
αβ
+(
𝑔
0
αβ,σ
+
𝑎
βασ
+
𝑎
αβσ
)
𝑥'
σ
+
+
𝑥'
σ
𝑥'
τ
⎡
⎢
⎣
𝑎
ρ
ασ
𝑎
ρβτ
+
𝑎
ρ
ατ
𝑔
0
ρβ,σ
+
𝑎
ρ
βτ
𝑔
0
ρα,σ
+
+
1
2
𝑎
ρ
στ
𝑔
0
αβ,ρ
+
1
2
𝑔
αβ,στ
⎤
⎥
⎦
,
(8.6.4)
где 𝑎αβσ=ηαμ𝑎μβσ Члены, соответствующие первым производным, будут равными нулю при следующем выборе 𝑎αμν:
𝑎
βασ
+
𝑎
αβσ
=-
𝑔
0
αβ,σ
.
(8.6.5)
Нам необходимо решить это уравнение таким образом, чтобы 𝑎αμν было выражено через
𝑔
0
αβ,σ
исходной системы координат. Эта процедура делается с использованием обычных приёмов; вычитаем уравнение, полученное перестановкой (α,σ), затем собираем подобные члены и т.д., и получаем следующее соотношение:
𝑎
σαβ
=-
1
2
⎡
⎣
𝑔
0
σα,β
+
𝑔
0
σβ,α
-
𝑔
0
αβ,σ
⎤
⎦
=-
[αβ,σ]⁰
.
(8.6.6)
Из соотношения (8.6.4) видно, что
𝑔'
0
αβ,στ
есть (удвоенное) выражение в квадратных скобках в правой части соотношения (8.6.4) с заменой 𝑎σαβ в соответствии с соотношением (8.6.6). Эти величины
𝑔'
0
αβ,στ
теперь могут быть заменены на
𝑔
0
αβ,στ
в соотношении (8.5.9) для того, чтобы найти компоненты кривизны, выписанные через старые координаты (ограниченные только тем, что они должны быть локально ортогональными), следующим образом:
𝑅
ατβσ
=
1
2
(
𝑔
αβ,στ
-
𝑔
ασ,βτ
-
𝑔
τβ,αβ
+
𝑔
τσ,αβ
)+
+
[ρσ,α]
η
ρλ
[τβ,λ]
-
[ρβ,α]
η
ρλ
[τσ,λ]
.
(8.6.7)
Осталось только ортогонализировать первоначально произвольные координаты. Это может быть сделано линейным преобразованием:
𝑥
α
=
𝐿
α
μ
𝑥'
μ
.
(8.6.8)
Всё, что осталось нам сделать, состоит в том, чтобы выбрать
𝑔'
0
αβ
=
η
αβ
,
(8.6.9)
и переписать все соотношения ещё раз. Производные при выбранном преобразовании определяются матрицей 𝐿αμ, и мы имеем
𝑔'
μν
=
𝐿
α
μ
𝐿
β
ν
𝑔
αβ
=
η
μν
.
(8.6.10)
Среди соотношений, которые могут быть получены, имеется следующее соотношение:
η
αβ
𝐿
α
σ
𝐿
β
μ
=
𝑔
σμ
.
(8.6.11)
Что же происходит с различными членами? Поскольку
∂
∂𝑥'α
=
∂
∂𝑥μ
∂𝑥μ
∂𝑥'α
=
𝐿
μ
α
∂
∂𝑥μ
,
(8.6.12)
то, следовательно, (в последующих соотношениях латинские индексы соответствуют штрихованным координатам)
𝑔'
𝑚𝑛,𝑠𝑡
=
𝐿
σ
𝑠
𝐿
τ
𝑡
𝐿
μ
𝑚
𝐿
ν
𝑛
𝑔
μν,στ
,
(8.6.13)
𝑎'
𝑟𝑚𝑛
=
𝐿
ρ
𝑟
𝐿
μ
𝑚
𝐿
ν
𝑛
𝑎
ρμν
,
(8.6.14)
η
𝑟𝑞
𝑎'
𝑟𝑚𝑛
𝑎'
𝑞𝑠𝑡
=
η
𝑟𝑞
𝐿
ρ
𝑟
𝐿
λ
𝑞
𝐿
μ
𝑚
𝐿
ν
𝑛
𝐿
σ
𝑠
𝐿
τ
𝑡
𝑎
ρμν
𝑎
λστ
.
(8.6.15)
Когда мы вставляем эти соотношения в выражения для компонент 𝑅, мы получаем, что 𝑅 не является более инвариантом. Окончательное выражение для 𝑅 (при выводе которого используется соотношение (8.6.11)) имеет следующий вид:
𝑅
ατβσ
=
1
2
(
𝑔
αβ,στ
-
𝑔
ασ,βτ
-
𝑔
τβ,ασ
+
𝑔
τσ,αβ
)+
+
[ρσ,α]
𝑔
ρλ
[τβ,λ]
-
[ρβ,α]
𝑔
ρλ
[τσ,λ]
,
(8.6.16)
а закон преобразования имеет вид:
𝑅'
𝑚𝑛𝑠𝑡
=
𝐿
μ
𝑚
𝐿
ν
𝑛
𝐿
σ
𝑠
𝐿
τ
𝑡
𝑅
μνστ
.
(8.6.17)
8.7. Свойства Великого Тензора Кривизны
Хотя величины 𝑅μνστ не являются инвариантами, они образуют тензор, как можно было бы заключить из закона преобразования (8.6.17). Легко можно показать, что тензор определяется только двадцатью величинами, как мы ранее и утверждали. Выражения (8.5.9) были получены путём антисимметризации по индексам (α,τ) и впоследствии по (β,σ). Имеются следующие симметрии для компонент тензора:
𝑅
ατβσ
=-
𝑅
ταβσ
,
(а)
=-
𝑅
ατσβ
,
(б)
=+
𝑅
βσατ
.
(в)
(8.7.1)