𝒢
μν
=
2λ²
δ𝑆𝑔
δ𝑔μν
.
(10.1.13)
Величина 𝒢μν есть контравариантная тензорная плотность второго ранга. Используя это определение, уравнение (10.1.12) можно переписать в виде
⎛
⎝
𝑔
αμ
𝒢
μν
⎞
⎠,ν
-
1
2
𝑔
μν,α
𝒢
μν
=
0,
(10.1.14)
которое эквивалентно утверждению, что ковариантная дивергенция 𝒢μν равна нулю
𝒢
μν
;ν
=
0.
(10.1.15)
Для демонстрации эквивалентности некоторых соотношений, включающих в себя ковариантные производные, удобно использовать некоторые соотношения, которые мы приведём сейчас для того, чтобы в дальнейшем их использовать. Вначале вычислим свёрнутые символы Кристоффеля.
Используя определение, получим
Γ
μ
εμ
=
𝑔
μσ
[με,σ]
=
1
2
𝑔
μσ
[
𝑔
σμ,ε
+
𝑔
σε,μ
-
𝑔
με,σ
].
(10.1.16)
Второй и третий члены взаимно сокращаются, так как тензор 𝑔μν - симметричен. Оставшийся член содержит обратную матрицу 𝑔μν умноженную на градиент 𝑔μν. Из хорошо известной теоремы об определителях следует, что алгебраическое дополнение 𝑀μν матрицы 𝑔μν связывается с соответствующим элементом обратной матрицы соотношением
𝑔
μν
=
𝑀μν
𝑔
,
(10.1.17)
и таким образом
𝑔
,λ
=
𝑔
μν,λ
𝑀
μν
=
𝑔
μν,λ
𝑔
μν
𝑔
.
(10.1.18)
Следовательно,
𝑔
μν
𝑔
μν,λ
=
[log(-𝑔)]
,λ
,
(10.1.19)
и свёрнутый символ Кристоффеля равен следующему соотношению
Γ
μ
εμ
=
[log(-𝑔)]
,ε
=
1
√-1
(√
-1
)
,ε
.
(10.1.20)
Кроме того, имеются следующие полезные формулы для ковариантных производных. Для скалярных функций ковариантные градиенты оказываются равными обычным градиентам
φ
;ν
=
φ
,ν
.
(10.1.21)
Для контравариантного вектора ковариантная дивергенция есть
𝐴
ν
;ν
1
√-𝑔
⎛
⎝
√
-𝑔
𝐴
ν
⎞
⎠,ν
(10.1.22)
Ковариантный ротор оказывается равным обычному ротору
𝐴
μ;ν
-
𝐴
ν;μ
=
𝐴
μ,ν
-
𝐴
ν,μ
(10.1.23)
Для тензоров второго ранга ответы оказываются различными (в зависимости от симметрии), для антисимметричных тензоров
𝐹
μν
;ν
=
1
√-𝑔
⎛
⎝
√
-𝑔
𝐹
μ
⎞
⎠,ν
если
𝐹
μν
=-
𝐹
μν
.
(10.1.24а)
Для симметричных тензоров
𝑇
ν
μ;ν
=
1
√-𝑔
⎛
⎝
𝑇
μ
ν
√
-1
⎞
⎠,ν
-
1
2
𝑔
αβ,μ
𝑇
αβ
,
если
𝑇
μν
=
𝑇
νμ
.
(10.1.24б)
Используя эти соотношения, путём прямых вычислений можно получить, что соотношения (10.1.14) и (10.1.15) эквивалентны. Таким образом, мы видим, что инвариантность действия приводит к построению тензорной плотности, которая автоматически имеет нулевую ковариантную дивергенцию. Так как ковариантная производная метрического тензора 𝑔μν обращается в нуль, то ковариантная производная (√-𝑔);λ также обращается в нуль. (Заметим для точности, что обычная производная (√-𝑔),λ есть не то же самое, что ковариантная производная, поскольку √-𝑔 есть скалярная плотность, а не скаляр). Тензор, ассоциированный с тензорной плотностью 𝒢μν также является бездивергентным,
𝐺
μν
=
𝒢μν
√-𝑔
,
𝐺
μν
;ν
=
0.
(10.1.25)
В этой связи нам следует прояснить некоторое положение, которое достаточно кратко, но иногда оказывается довольно запутанным. В лекции 6 мы работали с функциональными уравнениями (например, соотношение (6.2.3) того же вида, что и соотношение (10.1.2)); решения этих уравнений являются в действительности тензорными плотностями, а не тензорами. Тензорная плотность 𝒯μν удовлетворяет уравнению
𝒯
μν
,ν
=-
Γ
μ
αβ
𝒯
αβ
,
(10.1.26)
где 𝒯μν=√-𝑔𝑇μν, но тензор энергии-импульса 𝑇μν удовлетворяет следующему соотношению
𝑇
μν
,ν
=-
Γ
μ
αβ
𝑇
αβ
-
1
2𝑔
𝑔
,α
𝑇
μα
.
(10.1.27)
10.2. Действие для классических частиц в гравитационном поле
Следующее, что мы обсудим, это то, как записать общий закон физики, который описывает не только гравитационные поля, но также и вещество. Мы предполагаем, что такой закон может быть выведен из принципа наименьшего действия; математическая формулировка которого состоит в том, что вариация действия равна нулю
δ𝑆
=
δ
∫
𝑑⁴𝑥
ℒ[
𝑔
μν
,
𝐴
μ
, …]
(10.2.1)
Плотность лагранжиана ℒ содержит различные виды полей, например, поле тензора гравитации 𝑔μν, электромагнитное поле 𝐴μ и, если вещество есть скаляр, поле вещества скаляра φ. Когда мы вариируем это действие по отношению к различным полям, мы получаем уравнения распространения для соответствующих полей. Мы написали одну часть этого действия; давайте обозначим ту часть действия, которая ранее была пропущена, через 𝑆𝑚 которая зависит от полей материи φ и электромагнитных полей 𝐴μ и всех других полей, какие мы только знаем. Когда мы вычисляем вариацию от действия
𝑆
=
𝑆
𝑔
+
𝑆
𝑚