𝐺¹₁
=-
𝑒
-λ
ν'
/
𝑟
-
(𝑒
-λ
-1)
/
𝑟²
=-
8π𝐺𝑝
(14.1.3а)
𝐺²₂
=-
𝑒
-λ
⎛
⎜
⎝
ν''
2
-
ν'λ'
4
+
(ν)²
4
+
(ν'-λ')
2𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
8π𝐺𝑝
(14.1.3б)
𝐺⁴₄
=-
𝑒
-λ
λ'
/
𝑟
-
(𝑒
-λ
-1)
/
𝑟²
=
8π𝐺ρ
(14.1.3в)
Модель, которую мы будем использовать, будет задаваться теми выражениями, которые мы подставим для давления 𝑝 и плотности ρ. Эти величины представляют давление и плотность, которые могли бы быть действительно измерены наблюдателем, стоящим в какой-либо выделенной точке. Мы не получим правильных решений до тех пор, пока мы не проследим за тем, чтобы наш физический тензор 𝑇μν удовлетворял законам сохранения. Для нашего случая сферической симметрии только радиальная компонента дивергенции тензора имеет значение; мы должны иметь
∂𝑇¹₁
∂𝑟
+
1
2
ν'
(𝑇¹₁-𝑇⁴₄)
+
1
𝑟
(𝑇¹₁-𝑇²₂)
=
0
=-
1
2
ν'
(𝑝+ρ)-𝑝'
,
(14.1.4)
что по сути дела утверждает то, что давления в радиальном направлении уравновешены, как это и должно быть в нашем статическом решении. Это уравнение (равенства нулю дивергенции) служит тому, чтобы исключить ν'. Далее мы получаем соотношение для того, чтобы исключить exp(-λ). Сначала мы перепишем 𝐺⁴₄ через новую функцию 𝑀(𝑟), как показано в следующих соотношениях
𝐺⁴₄
=
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎡
⎣
𝑟(1-𝑒
-λ
)
⎤
⎦
.
(14.1.5а)
Если мы положим
𝑀(𝑟)
=
1
2
⎡
⎣
𝑟(1-𝑒
-λ
)
⎤
⎦
,
𝑒
-λ
=
1
-
2𝑀(𝑟)
𝑟
,
(14.1.5б)
тогда
𝑑𝑀
𝑑𝑟
=
4π𝑟²
𝐺ρ
.
(14.1.5в)
Оказывается, что функция 𝑀(𝑟) пропорциональна массе звезды, так как это есть интеграл плотности ρ. Тем не менее, интерпретация не является настолько прямой, поскольку имеются особенности координат, через которые измеряется функция ρ. Мы обсудим это ниже. Подставляя выражения для ν' и exp(-λ) в уравнение (14.1.3а), получаем
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑀
𝑟
⎞
⎟
⎠
1
𝑟
𝑑𝑝
𝑑𝑟
=-
(𝑝-ρ)
⎛
⎜
⎝
4π𝐺𝑝
+
𝑀
𝑟³
⎞
⎟
⎠
.
(14.1.6)
Вместе с дифференциальным уравнением для 𝑀(𝑟) и с уравнением состояния, связывающим величины 𝑝 и ρ, мы имеем систему связанных уравнений, которые могут быть в принципе разрешены для функций 𝑀(𝑟), 𝑝 и ρ; с подходящими граничными условиями они могли бы описывать сверхзвезду в приближении статического решения.
Какого рода уравнение состояния мы возьмём? Масса, образованная из 10⁹ солнечных масс, является очень сильно разреженной, будучи размазанной по области с галактическими размерами; даже при температуре несколько единиц 10⁹ градусов Кельвина, газовое давление является довольно низким. Тем не менее, оказывается, что плотность излучения, которая пропорционально 𝑇⁴, даёт существенную часть энергии массы покоя нуклонной плотности. Мы получаем осмысленное приближение, пренебрегая газовым давлением по сравнению с давлением излучения; в том же самом духе, мы пренебрегаем небольшим увеличением массы нуклона, вызываемым их скоростями. В единицах энергии массы покоя нуклона мы имеем тогда, если 𝑠 - плотность нуклонов, что
ρ
=
𝑠+ε
,
(14.1.7а)
𝑝
=
1
3
ε
.
(14.1.7б)
Эти уравнения связывают 𝑝 и ρ, но мы всё ещё нуждаемся в том, чтобы в точности определить ε для того, чтобы иметь уравнение состояния. Мы делаем адиабатическое приближение, которое делает каждый, пытающийся иметь дело с такими проблемами, такое, что распределение температуры является тем же самым, как будто это есть величина, которая падает вместе с первоначально однородным распределением без всякого перемешивания или переноса энергии между различными областями. Если мы сжимаем вещество внутри ящика, все частоты вырастают на один и тот же множитель, обратно пропорциональный длине ящика. Так как энтропия является постоянной для адиабатического процесса, то температура должна увеличиваться таким же образом. Таким образом, плотность нуклонов пропорциональна кубу температуры, и плотность энергии излучения пропорциональна 𝑇. На языке температуры, измеренной в единицах 10⁹ градусов, и энергии, в единицах массы покоя нуклона, имеем
ε
=
𝑎𝑇⁴
,
𝑠
=
𝑎τ𝑇⁴
.
(14.1.8)
Величина 𝑎𝑚𝑛 где 𝑚𝑛 есть масса нуклона, есть константа, имеющая значение 8.4 г/см³; τ - параметр, связанный с не зависящей от радиуса энтропией на барион соотношением (энтропия на барион) = 4/(3τ). Эти результаты могут быть выведены также из общего условия для адиабатического сжатия, которое может быть выражено как
𝑠²
𝑑(ε/𝑠)
𝑑𝑠
=
𝑝
=
ε
3
.
(14.1.9)
Эти соотношения между давлением, плотностью и адиабатическими процессами получены в связи со звёздными задачами в классическом случае. Звёзды, в которых и давление, и плотность следуют степенным зависимостям от температуры всюду, известны как политропы.
На языке новой температуры 𝑡=𝑇/τ и новых единиц таких, что 8π𝐺𝑚𝑛𝑎τ⁴=1, система уравнений принимает следующий вид:
ρ
=
𝑎τ⁴
[
𝑡⁴
+
𝑡³
],
(14.1.10а)
𝑝
=
𝑎τ⁴
⎛
⎜
⎝
1
3
𝑡⁴
⎞
⎟
⎠
,
(14.1.10б)
𝑑𝑚
𝑑𝑟
=
1
2
[
𝑡⁴
+
𝑡³
]
𝑟²
,
(14.1.10в)
𝑑𝑡
𝑑𝑟
=-
𝑟
2
⎛
⎜
⎝
3
4
+
𝑡
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
3
𝑡⁴
+
2𝑚
𝑟³
⎞
⎟
⎠
×
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑚
𝑟
⎞⁻¹
⎟
⎠
.
(14.1.10г)
Какие же условия мы выбираем в качестве граничных? Мы предполагаем определённую температуру в центре и то, что поверхность является много холоднее, по существу температура равна нулю по сравнению с температурой в центре звезды. Входные величины для нахождения решений 𝑡(𝑟) и 𝑚(𝑟) попросту являются следующими: