Лекция 15
15.1 Физическая топология решений Шварцшильда
В предыдущей лекции у нас были сделаны некоторые предположения о том, что распределение действительного вещества не может сконденсировать вещество внутри сферы с радиусом меньшим, чем величина гравитационного радиуса 2𝑚; даже если мы в порядке рабочей гипотезы приходим к выводу о том, что ”кротовые норы” не могут быть образованы из реального вещества, остаётся вопрос, который касается того, действительно ли решение Шварцшильда представляет случай, в котором тензор 𝐺μν равен нулю всюду, случай, в котором вещества нет вовсе, может выглядеть как вещество, которое рассматривается с расстояния. Следовательно, давайте попытаемся продолжить решение Шварцшильда внутрь критического радиуса 2𝑚. Мы полагаем, что это должно быть возможным потому, что хотя метрика
(𝑑𝑠)²
=
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑚
𝑟
⎞
⎟
⎠
(𝑑𝑡)²
-
(𝑑𝑟)²
1-2𝑚/𝑟
-
𝑟²(
(𝑑θ)²
+
sin²θ
(𝑑φ)²
)
(15.1.1)
имеет очевидную сингулярность при 𝑟=2𝑚, компоненты тензора кривизны являются гладкими в этой точке. Компоненты тензора кривизны становятся сингулярными в начале координат 𝑟=0, так что действительно происходит что-то ужасное с пространством в начале координат. Космический корабль, падающий в начало координат, может быть катастрофическим образом искривлён, потому что приливные силы становятся бесконечными, это есть тип ужасного поведения, который следует из сингулярности тензора кривизны. Всё, что происходит при 𝑟=2𝑚, состоит в том, что коэффициенты перед членами (𝑑𝑡)² и (𝑑𝑟)² меняют знак в соотношении (15.1.1), тем не менее, пространство остаётся по-прежнему с сигнатурой три и один, так что пространство чувствует себя совершенно нормально.
Давайте рассмотрим разложение пространства в окрестности сингулярной точки. Предположим, что мы меняем координаты в окрестности 𝑟=2𝑚, и рассмотрим плоскости 𝑑φ=0, 𝑑θ=0. На языке новой переменной 𝑥, мы имеем
𝑥
=
(1-2𝑚)
,
𝑟
=
2𝑚(1+𝑥)
при малых значениях
𝑥
,
(𝑑𝑠)²
=
𝑥(𝑑𝑡)²
-
(2𝑚)²
(𝑑𝑥)²
𝑥
,
(15.1.2)
вблизи сингулярной точки. Хотя пространство меняет знак, когда 𝑥 меняет знак, при 𝑥>0 метрика может быть заменена вновь таким образом, что она становится плоской; простое координатное преобразование приводит метрику к ”полярному” виду
𝑥
=
𝑅²
→
(𝑑𝑠)²
=
𝑅²
(𝑑𝑡)²
-
(4𝑚)²
(𝑑𝑅)²
,
(15.1.3)
с использованием этого соотношения метрика легко может быть преобразована в метрику Минковского путём подстановки
𝑣
=
4𝑚𝑅cosh(𝑡/4𝑚)
,
𝑢
=
4𝑚𝑅sinh(𝑡/4𝑚)
,
→(𝑑𝑠)²
=
(𝑑𝑢)²
-
(𝑑𝑣)²
.
(15.1.4)
Эти результаты показывают, что пространство вблизи сингулярной точки ведёт себя совершенно хорошо, так что сингулярность Шварцшильда есть особенность координат, которые мы определили. Для того, чтобы связать геодезические, проходящие через точку 𝑟=2𝑚, уравнение (15.1.4) подсказывает подстановку
𝑥
=
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑚
𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
(𝑢²-𝑣²)
(4𝑚)²
,
𝑢
𝑣
=
tanh
⎛
⎜
⎝
𝑡
4𝑚
⎞
⎟
⎠
,
(15.1.5)
на языке координат 𝑢 и 𝑣 пространство и метрика являются гладкими с обеих сторон 𝑟=2𝑚. Подобное преобразование использовалось Фуллером и Уилером [FuWh 62] для того, чтобы получить пересечение промежутка, где имелась координатная особенность. Геодезические, правильно соединяющиеся через значение 𝑟=2𝑚, показывают, что частицы, падающие по направлению к гравитирующей массе, при значениях координаты 𝑟 меньших, чем её критическое значение 2𝑚, не отражаются в какое бы то ни было ”новое" пространство на другой стороне любой горловины, а сохраняют своё падение по направлению к началу координат. Здесь нет противоречия с рассмотрениями, которые привели к предположениям о кротовых норах. Топология типа горловины получается путём разрезания пространства неким особым способом, если положим 𝑑𝑡=0. Тем не менее, движение реальных частиц не происходит в пространстве, в котором 𝑑𝑡=0, и нет основания тому, почему топология подпространства 𝑑𝑡=0 должна бы соответствовать общему свойству четырёхмерного пространства. Тороидальный пончик может быть вырезан из целого куска даже тогда, когда нет ничего тороидального у этого целого куска. Для физических задач топология, которой мы интересуемся, касается геодезических, и здесь не существует времениподобных геодезических, которые бы проходили через кротовую нору.
15.2. Орбиты частиц в поле Шварцшильда
Поучительно получить описание радиального движения частиц как функции собственного времени 𝑠. Как обычно для задач описания движения в поле центральных сил, движение происходит в одной плоскости (мы выбираем её таким образом, что θ=π/2, и радиальное движение определяется двумя параметрами 𝐾 и 𝐿, связанными с полной энергией и угловым моментом, которые есть первые интегралы уравнения для времени и уравнения для угла, как следует из следующих уравнении: уравнения геодезических
𝑑
𝑑𝑠
⎛
⎜
⎝
𝑔
μν
𝑑𝑥μ
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
=
1
2
∂𝑔αβ
∂𝑥ν
𝑑𝑥α
𝑑𝑠
𝑑𝑥β
𝑑𝑠
,
(15.2.1)
может быть тривиальным образом проинтегрировано, когда ν=3,4 (координаты φ, 𝑡), поскольку метрический тензор не зависит от φ и 𝑡, и, следовательно, правая часть уравнения (15.2.1) равна нулю. Из этого условия определяются следующие интегралы:
𝐾
=
(1-2𝑚/𝑟)
𝑑𝑡
𝑑𝑠
,
𝐿
=
𝑟²
𝑑φ
𝑑𝑠
.
(15.2.2)
Уравнение для описания изменения радиальной координаты может быть получено, если мы положим ν=1 в уравнении (15.2.1), но это требует больше работы, чем это необходимо. Легче получить уравнение для описания изменения радиальной координаты из условия
𝑔
μν
𝑑𝑥μ
𝑑𝑠
𝑑𝑥ν
𝑑𝑠
=
1,
(15.2.3)
которое может быть явным образом записало через величины 𝐿 и 𝐾 следующим образом:
𝐾²