𝑘
μ
𝑆
μν
=
0.
(16.1.5)
Тензор источника содержит в себе и источники материи, и источники гравитации. Из-за свободы, которую мы имеем в выборе калибровки, мы можем сделать тензор с чертой ℎμν бездивергентным и, таким образом, получить решение
𝑘
ν
ℎ
μν
=
0→
𝑘²
ℎ
μν
=
λ
𝑆
μν
,
ℎ
μν
=
λ
𝑘²+𝑖ε
𝑆
μν
.
(16.1.6)
Тензор, стоящий справа, есть не просто тензор неизвестного источника: теперь он хорошо определён на языке первоначального действия (16.1.1) и разложения (16.1.2), так что уравнения являются совместными и энергия сохраняется. Раз у нас есть разложение по степеням константы связи λ, мы можем, используя обычные правила теории возмущения, приступить к вычислению всех диаграмм каждого заданного порядка λ. Ключевыми разложениями являются разложение 𝑔μν и разложение √𝑔. Первое легко может быть выписано по аналогии с разложением (1+𝑥)⁻¹, когда 𝑥 есть малая величина. Мы имеем
𝑔
μν
=
⎛
⎝
η
μν
+
2λ
ℎ
μν
⎞⁻¹
⎠
=
=
η
μν
-
2λ
ℎ
μν
+
4λ²
ℎ
μ
β
ℎ
βν
-
3λ³
ℎ
μβ
ℎ
βτ
ℎ
τν
+… ,
(16.1.7)
где необходимо помнить правило суммирования для плоского пространства-времени, как в соотношении (4.1.6). Выражение для разложения √-𝑔 может быть вычислено посредством манипуляций, описанных в лекции 6. Используя соотношение (6.3.11) при
𝑔
μν
=
η
μβ
⎛
⎝
δ
β
ν
+
2λ
ℎ
β
ν
⎞
⎠
,
мы имеем
√
-Det 𝑔
μν
=
=
√
-Det η
μν
exp
⎡
⎢
⎣
1
2
Tr log
⎛
⎝
δ
β
ν
+
2λ
ℎ
β
ν
⎞
⎠
⎤
⎥
⎦
=
exp
⎡
⎢
⎣
½Tr
⎛
⎜
⎝
2λ
ℎ
β
ν
-
1
2
(2λ)²
ℎ
β
τ
ℎ
τ
ν
+
1
3
(2λ)³
ℎ
β
τ
ℎ
τ
σ
ℎ
σ
ν
+…
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
=
exp
⎡
⎢
⎣
1
2
⎛
⎜
⎝
2λ
ℎ
β
β
-
1
2
2(λ)²
ℎ
β
τ
ℎ
τ
β
+
1
3
(2λ)³
ℎ
β
τ
ℎ
τ
σ
ℎ
σ
β
+…
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
=
1
+
λ
ℎ
β
β
-
λ²
⎛
⎝
ℎ
β
ρ
ℎ
ρ
β
+… .
⎞
⎠
(16.1.8)
Подставляя эти выражения для √-𝑔 и для 𝑔μν в действие, мы получаем явные выражения для связи материи и гравитации; результат для второго члена соотношения (16.1.1) есть, например, следующий:
𝑆
𝑚
=
1
2
∫
⎡
⎢
⎣
⎛
⎝
η
μν
-
2λ
ℎ
μν
+
(2λ)²
ℎ
μβ
ℎ
β
ν
+…
⎞
⎠
(φ
,μ
φ
,ν
)
-
𝑚²φ²
⎤
⎥
⎦
×
×
⎛
⎝
1+λ
ℎ
ρ
ρ
-
λ²
(ℎ
σ
ρ
ℎ
ρ
σ
)
+…
⎞
⎠
𝑑⁴𝑥
=
=
1
2
∫
𝑑⁴𝑥
(
φ
,μ
φ
,μ
-
𝑚²φ²
)-λ
∫
𝑑⁴𝑥
ℎ
μν
⎡
⎣
φ
,μ
φ
,ν
+
1
2
𝑚²φ²
η
μν
⎤
⎦
-
-λ²
∫
𝑑⁴𝑥
⎡
⎢
⎣
1
2
ℎ
λ
ρ
ℎ
ρ
λ
(
φ
,μ
φ
,μ
-
𝑚²φ²
)-
2ℎ
μρ
ℎ
ρ
ν
φ
,μ
φ
,ν
⎤
⎥
⎦
.
(16.1.9)
Рис. 16.1.
Члены самого наиболее низкого порядка включают в себя взаимодействие двух полей φ и одного ℎ, что соответствует вершине, показанной на рис. 16.1(a). В каждой вершине мы требуем, чтобы импульсы сохранялись. Это правило происходит от объёмного интегрирования в действии: нет вклада от члена, полная фаза которого не равна нулю. Запишем решение типа плоской волны следующим образом :
ℎ
μν
=
𝑒
μν
exp(𝑖𝑞⋅𝑥)
,
φ
=
exp(𝑖𝑝⋅𝑥)
;
(16.1.10)
на языке тензора поляризации 𝑒μν амплитуда в вершине первого порядка
-2λ
⎡
⎢
⎣
𝑒
μν
¹𝑝
μ
²𝑝
ν
-
1
2
𝑒
ρ
ρ
¹𝑝
τ
²𝑝
τ
-
𝑚²
⎤
⎥
⎦
.
(16.1.11)
Рис. 16.2.
Любая диаграмма, которая включает в себя только такие вершины, теперь могла бы быть вычислена путём простой подстановки в соответствующие амплитуды в каждой вершине и пропагаторы частиц и гравитонов между вершинами в точности так же, как и в электродинамике.