ℎ
μν
(1)
=-
λ
4π𝑟₁
exp(𝑖ω𝑟₁)
∫
𝑑³𝑟₂
𝑆
μν
(2)
exp(-𝑖𝑲⋅𝒓₂)
.
(16.5.6)
Интеграл, появляющийся в соотношении (16.5.6), теперь не зависит от точки (1), мы видим, что тензор давления 𝑆μν(2) является источником сферических волн.
В случае электромагнетизма наипростейшие случаи излучения часто соответствуют дипольному приближению, которое представляет собой первый ненулевой член в последовательности интегралов, соответствующих разложению экспоненты. Поскольку источник гравитационных волн является тензором вместо того, чтобы быть вектором (как в случае электромагнетизма), первый ненулевой член в гравитации имеет квадрупольный характер. Использование этого разложения оказывается оправданным, если частоты такие, что 𝑲⋅𝒓₂ много меньше, чем 1, в области, где величина 𝑆μν оказывается значимой. Для всех вращающихся масс таких, как двойные звёзды или системы типа звезда - планета, периоды движения (скажем, ~ 1 год для системы Земля - Солнце) много больше, чем время, которое требуется гравитации для того, чтобы пройти расстояние порядка размера системы (~ 16 минут для системы Земля - Солнце), так что члены разложения очень быстро становятся всё меньше и меньше. Таким образом, почти во всех случаях, представляющих астрономический интерес, длины волн много больше, чем размеры объекта. Результат состоит в том, что поля ℎμν пропорциональны интегралам поперечных давлений (полное поперечное давление)
ℎ
𝑎𝑏
=-
λ
exp(𝑖ω𝑟)
4π𝑅
𝑆
𝑎𝑏
, где
𝑆
𝑎𝑏
=
∫
𝑆
𝑎𝑏
(𝑟)
.
(16.5.7)
Значения давления в направлении вдоль волнового вектора не относятся к делу. Любое качественное правило, которое полезно в электромагнетизме, целиком переносится в гравитацию.
Какова мощность, испускаемая такой волной? Существует огромное количество специалистов, которые в силу многолетнего предрассудка, что гравитация является чем-то таинственным и отличным от всего остального, напрасно обеспокоены этим вопросом; они считают, что гравитационные волны не переносят энергии совсем. Мы можем определённо показать, что гравитационные волны могут на самом деле нагреть стенку, так что нет вопроса об энергосодержании в гравитационных волнах. Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в электромагнетизме, и в квантовой интерпретации каждый испускаемый гравитон уносит величину энергии ℏω.
Список литературы
[Alva 89] Alvarez, Enrique (1989). ”Quantum gravity: an introduction to some recent results,” Reviews of Modem Physics, 61, 561-604.
[Asht 86] Ashtekar, A. (1986). ”New variables for classical and quantum gravity,” Physical Review Letters, 57, 2244-2247.
[Asht 87] Ashtekar, A. (1987). ”A new Hamiltonian formulation of general relativity,” Physical Review D, 36, 1587-1603.
[Baad 52] Baade, Walter. (1952). ”Report of the Commission on Extragalactic Nebulae,” Transactions of the International Astronomical Union, 8, 397-399.
[Bard 65] Bardin, James M. (1965). "Stability and dynamics of spherically symmetric masses in general relativity,” unpublished Ph.D. thesis, California Institute of Technology.
[BBIP 91] Balbinot, Roberto, Brady, Patric R., Israel, Werner, and Poisson, Eric (1991). ”How singular are black-hole interiors?”, Physics Letters A, 161, 223-226.
[Birk 43] Birkhoff, G. (1943). ”Matter, electricity, and gravitation in flat spacetime,” Proc. Nat. Acad. Sci. U.S., 29, 231-239.
[BTM 66] Bardeen, James М., Thorne, Kip S., and Meltzer, David W. (1966). ” A catalog of methods for studying the normal modes of radial pulsation of general relativistic stellar models,” Astrophysical Journal, 145, 505-513.
[Bond 57] Bondi, Hermann. (1957). ”Plane gravitational waves in general relativity,” Nature, 179, 1072-1073.
[BoDe 75] Boulware, David G. and Deser, Stanley (1975). ”Classical general relativity derived from quantum gravity,” Annals of Physics, 89, 193-240.
[Cart 28] Сartan, Elie. (1928). ”Leçons sur la Géométrie des Espaces de Riemann,” Memorial des Sciences Mathématiques, Fascicule IX (Gauthier-Villars, Paris, Prance).
[Chan 64] Chandrasekhar, S. (1964). ”Dynamical instability of gaseous masses approaching the Schwarzschild limit in general relativity,” Physical Review Letters, 12, 114-116.
[ChHa 82] Chandrasekhar, S. and Hartle, James B. (1982). ”On crossing the Cauchy horizon of a Reissner-Nordström black hole,” Proceedings of the Royal Society of London A, 384, 301-315.
[Cock 65] Cocke, W. John (1965). ”A maximum entropy principle in general relativity and the stability of fluid spheres,” Annales de Vlnstitut Henri Poincare, A, 2, 283-306.
[Dese 70] Deser, Stanley. (1970). ”Self-interaction and gauge invariance,” General Relativity and Gravitation, 1, 9-18.
[Dese 87] Deser, Stanley. (1987). ”Gravity from self-interaction in curved background,” Classical and Quantum Gravity, 4, L99-L105.
[DeWi 57] DeWitt, Cecile M. (1957). Conference on the Role of Gravitation in Physics at the University of North California, Chapel Hill, March 1957; WADC Technical Report 57-216 (Wright Air Development Center, Air Research and Development Command, United States Air Force, Wright Patterson Air Force Base, Ohio).
[DeWi 67а] DeWitt, Bryce S. (1967). ”Quantum theory of gravity, II,” Physical Review, 162, 1195-1239 (имеется русский перевод в книге: Девитт Б. Динамическая теория групп и полей (1987), (Наука, Москва), 239.
[DeWi 67b] DeWitt, Bryce S. (1967). ”Quantum theory of gravity, III,” Physical Review, 162, 1239-1256.
[DeWi 94] DeWitt, Bryce S. (1994). Private Communication.
[Dira 37] Dirac, P. A. M. (1937). ”The cosmological constants,” Nature, 139, 323.
[Dira 38] Dirac, P. A. M. (1938). ”New basis for cosmology,” Proc. R. Soc. London A, 165, 199-208.
[DrMa 77] Drechsler, W. and Mayer, М. E. (1977). Fiber Bundle Techniques in Gauge Theories (Lecture Notes in Physics, Volume 67, Springer-Verlag, New York).
[Eddi 31] Eddington, A. (1931). ”Preliminary note on the masses of the electron, the proton, and the universe,” Proc. Cambridge Phil. Soc., 27, 15-19.
[Eddi 36] Eddington, A. (1936). Relativity Theory of Protons and Electrons (Cambridge University Press, Cambridge).
[Eddi 46] Eddington, A. (1946). Fundamental Theory (Cambridge University Press, Cambridge).
[Eins 39] Einstein, Albert (1939). ”On a stationary system with spherical symmetry consisting of many gravitating masses,” Annals of Mathematics, 40, 922-936.
[FaPo 67] Faddeev, L. D. and Popov, V. N. (1967). ”Feynman diagrams for the Yang-Mills Field,” Physics Letters B, 25, 29-30.
[Feyn 57] Feynman, Richard P. (1957). ”Conference on the Role of Gravitation in physics, an expanded version of the remarks by R. P. Feynman on the reality of gravitational waves, mentioned briefly on page 143 of the Report [DeWi 57],” typescript in Box 91, File 2 of The Papers of Richard P. Feynman, the Archives, California Institute of Technology.
[Feyn 61] Feynman, Richard P. (1961). Unpublished letter to Victor F. Weisskopf, January 4-February 11, 1961; in Box 3, File 8 of the Papers of Richard P. Feynman, the Archives, California Institute of Technology.
[Feyn 63a] Feynman, Richard P., Leighton, Robert B., and Sands, Matthew (1963). The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley, Reading, Massachusetts) (Имеется русский перевод: Фейнман Р., Лейтон P., Сэндс М. (1965-1967) Фейнмановские лекции по физике, тт. 1-9 (Мир, Москва).
[Feyn 63b] Feynman, Richard P. (1963). ”Quantum theory of gravitation”, Acta Physica Polonica, 24, 697-722.
[Feyn 67] Feynman, Richard P. (1967). The Character of Physical Law (M.I.T., Cambridge). (Имеется руссхий перевод: Фейнман P. (1968) Характер физических законов (Мир, Москва)).
[Feyn 72] Feynman, Richard P. (1972). ”Closed loop and tree diagrams” and ”Problems in quantizing the gravitational field, and the massless Yang-Mills field,” in Magic Without Magic: John Archibald Wheeler, edited by John R. Klauder (W.H. Freeman, San Francisco), pp. 355-408.
[Feyn 85] Feynman, Richard P., as told Leighton, Ralph (1985). Surely You’re Joking, Mr. Feynman! (W.W. Norton, New York).
[Feyn 88] Feynman, Richard P., as told Leighton, Ralph (1988). What Do You Care What Other People Think? (W.W. Norton, New York).
[Feyn 89] ”Feynman’s office: The last blackboards,” Physics Today, 42 (2), 88 (1989).
[FiPa 39] Fierz, M. and Pauli, W. (1939). ”Relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field,” Proceedings of the Royal Society of London A, 173, 211-232.
[Fink 58] Finkelstein, David (1958). ”Past-future asymmetry of the gravitational field of a point particle,” Physical Review, 110, 965-967.
[Fowl 64] Fowler, William A, (1964). ”Massive stars, relativistic polytropes, and gravitational radiation,” Reviews of Modem Physics, 36, 545-555.
[FuWh 62] Fuller, Robert W. and Wheeler, John A. (1962). ”Causality and multiply connected space-time,” Physical Review, 128, 919-929.
[FWML 74] Fairbank, W., Witteborn, F., Madey, J., and Lockhart, J. (1974). ”Experiments to determine the force of gravity on single electrons and positrons,” Experimental Gravitation: Proceedings of the International School of Physics ”Enrico Fermi," Course LVI, B.Bertotti, ed. (Academic Press, New York) 310-330.