Лемма 5. Континуальность = Дискретность + Неотделимость
Как это возможно? Для топологии эти свойства несовместимы, ибо дискретность изначально означает изолированность множества точек в пространстве, которое автоматически становится отделимым. Это вплотную подводит нас к вопросу о математической структуре времени, в котором кванты неизбежно сопряжены с неопределенностью. Предположим снова, что t(a) и t(b) составляют два разных момента временного континуума, в которых происходят эти события, и прогресс времени выражается отношением <. Тогда на стреле времени найдется бесконечное множество событий между a и b, так, что невозможно прийти пошагово из a в b. В античной философии этот феномен был известен как апории Зенона.
IV. Релятивистское время и эфир
Древнегреческий философ Зенон был родом из Элеи, и поэтому последователей его школы принято называть «элеатами» (другой Зенон родом из Кития стал основателем стоицизма). Сам Зенон был учеником Парменида, который первым в греческой философии заявил: «Бытие тождественно мышлению», т.е. выразил тот самый постулат, который нам необходим, чтобы избавить нас от событий, которые мы в принципе не способны понять. Его знаменитый современник Гераклит утверждал, что в мире нет покоя (настоящего), все находится в непрерывном изменении. Зенон, как последователь Парменида, придумал свои апории с целью показать иллюзорность мышления, которым мы ограничены. Из них следовало, что движение невозможно, все находится в покое (настоящем).
Эти апории хорошо известны. Самой популярной из них является, пожалуй, история Ахиллеса и черепахи. Эпический воин Ахиллес и символ медлительности в животном мире – черепаха стартуют в один и тот же момент времени, но при этом черепаха находится на некотором расстоянии S1 впереди героя Илиады. За то время, пока Ахиллес преодолевает этот отрезок, черепаха тоже успевает проползти некоторый новый отрезок пути S2. Когда Ахиллес одолеет и его, черепаха опять отползет на расстояние S3 и т.д. Кажется, Ахиллесу никогда не догнать черепаху, поскольку это рассуждение в себе самом не предполагает принципиального конца.
Процитируем высказывания некоторых математиков об этой апории.
Г. Вейль [16]: Представим себе вычислительную машину, которая выполняла бы первую операцию за ½ минуты, вторую — за ¼ минуты, третью — за ⅛ минуты и т. д. Такая машина могла бы к концу первой минуты “пересчитать” весь натуральный ряд (написать, например, счетное число единиц). Ясно, что работа над конструкцией такой машины обречена на неудачу. Так почему же тело, вышедшее из точки А, достигает конца отрезка В, “отсчитав” бесконечное множество точек S1, S2...Sn ...?
Д. Гильберт и П. Бернайс [17]: Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, завершенность которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться.
Н. Бурбаки [18]: Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии. От элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокс: как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера?
Апории Зенона не являются логическими парадоксами в строгом смысле. Само слово «апория» (ἀπορία) в переводе с др. греческого означает затруднение, безвыходность. Но классический парадокс содержит в себе два взаимоисключающих высказывания. В символической логике он записывается формулой: , и читается как «А эквивалентно не-А», выражая логическую тождественность некоего утверждения и его отрицания. Апории же основываются на нашем интуитивном понимании континуальности (непрерывности) и дискретности (прерывности) и показывают, что эти понятия неразрывно связаны между собою, что, собственно, и создает апорию. В частности, они показывают, что наше восприятие времени (и пространства) содержит в себе какой-то логический изъян. Возможно, эта внутренняя противоречивость в восприятии времени, которое мы считаем и непрерывным, и дискретным, связана в нашем мышлении с доминантной асимметрией полушарий мозга, позволяющих создать двуликую нейролингвистическую реальность и соединить несоединимое, т.е. апорию следует относить к явлениям асимметрии.
У нашего разума два разных принципа обработки поступающей к нему информации. Правое полушарие склонно осуществлять одновременную обработку сложного сигнала, континуально воспринимая реальность; левое же, напротив, особенно интересуется дискретной последовательностью сигналов. В книге нейропсихолога О. Сакса «Человек, который принимал жену за шляпу» приводятся истории людей с поврежденными зрительными центрами правого полушария [19]. Зрение этих людей оставалось отчетливым, но их мозг утрачивал способность к целостному (континуальному) восприятию реальности вплоть до того, что они переставали узнавать своих близких и части собственного тела. При этом их мозг прекрасно видел дискретные детали, которые не складывались для него в единую картину.
Главной особенностью времени является то, что время все время бежит. Точнее, бежит все, что находится во времени, и даже если мы убеждены, что не двигаемся с места, мы все равно бежим в будущее. Плотность этого движения соответствует плотности континуума. Невозможно найти дыру в математическом континууме. Наше самосознание (в своей левой части) между тем воспринимает время как дискретное, деля его на фрагменты, которые в обычном восприятия образуют триаду: прошлое, настоящее, будущее. Однако все оказывается не так просто. Если уподобить физическую реальность кинофильму, то какую бы высокоскоростную камеру мы не использовали, нам, как выражался Вольтер, «не поймать природу с поличным». Любые два ближайшие кадра, каждый из которых фиксирует настоящее, не будут абсолютно одинаковыми. Это значит, что между ними происходит что-то неуловимое. В этом неуловимом между двумя настоящими и движется реальность.
Итак, время как длительность содержит в себе фикцию, которую мы называем настоящим. Древнейшая мечта «Остановись, мгновенье, ты – прекрасно!» подразумевает попытку поймать именно это настоящее и сделать его вечным. Но неуловимое настоящее никому не дается в руки. Вместе с тем вся наша жизнь состоит из череды таких «сейчас». В этом смысле мы как будто живем в вечном настоящем. Наше бытие – это непрерывная (континуальная) череда настоящих. На этом настаивал Гегель. Но попытка зафиксировать «сейчас» ставит нас в тупик: это настоящее стало уже прошлым, а мы оказались в будущем. Настоящее не может быть измерено каким-либо моментом Δt, поскольку этот момент, как справедливо замечал Августин, всегда может быть разделен на части, одна из которых будет прошлым, а другая – будущим. Мы должны признать, что настоящее как мгновение равно нулю. Только нуль невозможно поделить на части. Но тогда настоящего – нет!
Лемма 6. Настоящее = Нуль
А поскольку настоящее присутствует всюду во времени, то лемма 6 подтверждает наш вывод, что условием сингулярности (2.2) обладает любая точка пространства-времени. Эта лемма прямо связана с леммой 2 об абсолютном покое, в котором невозможно пространство. Каждый такой нуль на t есть условно «застывшая» Вселенная или s-подобная страта, изображенная листом на рис. 2. Но сумма нулей всегда есть нуль (сингулярность), в который стягивается все 4-мерное многообразие физической теории. Вселенная и настоящее несовместимы. Как же так? Ведь вся наша жизнь состоит из этих мгновений. А сумма этих мгновений равна нулю. Но наша жизнь – не нуль. В нуле ничего не происходит. Мы же совершаем за свою жизнь кучу дел. Да и Вселенная не стоит на месте. Так что же такое настоящее? Другая апория Зенона о летящей стреле гласила именно это: летящая стрела не движется там, где она есть, не движется она и там, где ее нет. Б. Рассел по этому поводу удрученно заявил: «Мы живем в неизменном мире, а стрела в каждое мгновение своего полета фактически покоится». Но если мы уже пришли к поразительному выводу о том, что настоящее есть фикция, то эта история оказывается для нас тривиальной. Поскольку мгновение равно нулю, то и скорость любого тела, будь то стрела, бегун или ракета, в этом мгновении тоже равна нулю, поскольку в нуле ничего не происходит. Математически это соответствует тому, что скорость, которая определяется отношением пространства ко времени, в этом случае имеет вид: