Таким образом, (v2 — v20) = 2as, что приводит к нужной нам форме записи.
Теперь, располагая изложенным методом, к которому мы пришли в результате анализа, опустим детали наших изысканий и начнем снова.
Чтобы вывести соотношение v2 = v20 + 2as изящным методом, начнем с определения ускорения
a = (v — v0)/t
и с формулы, выражающей пройденный путь через среднюю скорость s = 1/2(v + v0)t, и просто перемножим оба эти уравнения. Мы получим соотношение a∙s = 1/2(v2 — v20), которое приводит к выражению
v2 = v20 + 2as
Вот четыре соотношения между величинами v, v0, a, s и t:
v = v0 + at, s = 1/2(v + v0)t, s = v0t + (1/2)at2, v2 = v20 + 2as
Эти соотношения позволяют быстро вычислить значение любой входящей в них величины, если известны значения трех других величин.
Алгебра позволяет вычислить результирующий путь
Числовым значениям необходимо придавать подходящие знаки + и —. Например, если начальная скорость движущегося тела равна 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение составляет 1 м/сек/сек и направлено тоже на восток, то мы можем записать v0 = +3 и а = +1. Если же v0 = 3 м/сек в направлении на восток, а ускорение в противоположном направлении равно 1 м/сек/сек к западу, то одна из этих величин должна записываться со знаком минус. Если мы говорим, что v0 = +3, то мы должны записать а = —1, используя знак плюс для скорости, ускорения и пройденного пути в направлении на восток, а знак минус для перечисленных величин, направленных на запад. Тогда s будет равно результирующему расстоянию, пройденному за время t, а не арифметической сумме перемещений в западном и восточном направлениях. Это происходит потому, что при вычислении каждого отрезка пути мы приписываем знак плюс перемещениям в направлении на восток, а знак минус перемещениям на запад, и когда мы складываем эти отрезки пути со знаками + и —, стремясь найти s, то в соответствии с правилами алгебры получим результирующую разность перемещений. При v0 = +3 и а = —1 движение будет замедленным: тело движется все медленнее и медленнее вперед в течение 3 сек, останавливается, а затем движется все быстрее и быстрее в обратном направлении. Через 5 сек траектория движения будет такой, как показано на фиг. 13: тело переместится на 4,5 м вперед, затем на 2 м назад, и результирующее перемещение будет равно 2,5 м.
Фиг. 13. Результирующее пройденное расстояние s.
Алгебра дает
Таким образом, s всегда означает результирующее расстояние, пройденное от старта до финиша.
Приведенные выше соотношения — это лишь инструменты, а не разделы науки, имеющие жизненно важное значение. Эти соотношения абсолютно верны для движения с постоянным ускорением и отнюдь не достоверны для других движений. Только эксперимент может сказать нам, в каких случаях они применимы к реальным явлениям окружающего мира.
Задача 6. Доказательство без математического анализа
Галилей не имел возможности воспользоваться математическим анализом, он предпочитал геометрию и рассматривал равномерно ускоренное движение следующим образом. Представим себе график скорости движущегося тела, откладываемый по вертикали в зависимости от времени, откладываемого по горизонтали. Если, тело движется с постоянным ускорением, его скорость должна возрастать с течением времени равномерно. График скорости должен представлять собой прямую линию. Она не обязательно должна проходить через начало координат, она может идти от начальной скорости v0 при t = 0, достигая некоторого значения v в момент времени t.
Посмотрим теперь, что произойдет за некоторый очень короткий промежуток времени Δt, когда скорость равна, скажем, v1. (Разумеется, v все время возрастает, но мы можем в качестве v1 взять среднее за короткий промежуток времени Δt.) Тогда тело проходит за этот промежуток времени расстояние [(v1)∙(Δt)]. Но на графике величина [(v1)∙(Δt)]— это произведение [(высота)∙(ширина)] маленькой вертикальной полоски с основанием Δt, доходящей до прямой, которая представляет собой наш график. На фиг. 14, а площадь этой вертикальной полоски заштрихована.