Следовательно, полное расстояние, пройденное телом, определяется полной площадью всех таких вертикальных полосок, т. е. заштрихованной площадью на фиг. 14, б.
1) Если, как показано на фиг. 14, б, боковые стороны заштрихованной геометрической фигуры равны v0 и v, а основание — промежутку времени t, то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши геометрические соображения.)
2) Если боковые стороны равны v0 и v + at (что следует из определения ускорения), то каким выражением определяется площадь фигуры? (Изложите кратко ваши рассуждения.)
3) Запишите ответы на первые два вопроса в виде выражений для s — расстояния, пройденного телом за время t.
4) Предположим теперь, что ускорение не постоянно, а, начиная с некоторого меньшего значения, возрастает до некоторого большего значения, так что скорость по-прежнему изменяется за время t от v0 до v, но не равномерно.
а) Начертите новый график для этого случая.
б) Будут ли для него применимы выражения, полученные в качестве ответа на вопросы 1 и 2?
в) Какое слабое место было в прежних рассуждениях в приложении I, основанных на алгебре, которое теперь отсутствует?
Фиг. 14. К задаче 6.
Задача 7. Доказательство с помощью математического анализа
В пределе скорость v представляет собой изменение расстояния в единицу времени ds/dt, а ускорение а — изменение скорости в единицу времени dv/dt, или d/dt(ds/dt), или d2s/dt2. Покажите, что если а постоянно, то справедливо каждое из следующих утверждений:
1) интегрирование dv/dt = a приводит к выражению v = v0 + at (где v0 — постоянная, значение v в момент времени t = 0);
2) интегрирование соотношения v = v0 + at приводит к соотношению s = v0t + 1/2at2 (Указание. Вспомните, что v = ds/dt);
3) интегрирование dv/dt = a приводит к соотношению v2 = v20 + 2as. (Указание. Попробуйте умножить обе части этого соотношения на v.)
Задача 8. Графики движения
На фиг. 15 показаны расположенные друг под другом три графика движения предмета по прямой. График I изображает зависимость пройденного расстояния от времени; график II — зависимость скорости от времени; график III — зависимость ускорения от времени. На всех трех графиках масштаб времени одинаков, а начало координат лежит на одной вертикальной прямой. Изображенные графики относятся к движению предмета с постоянным ускорением, начинающемуся при s = 0 (показано буквой А) и скорости v = 0 (показано буквой В) в момент времени t = 0. Для более сложных движений все три линии могут быть кривыми.
1) В общем случае произвольного движения график одной или более величин может быть получен из графика для некоторой другой из трех указанных величин по значениям наклона касательных. Какой (каких) именно? Объясните, почему.
Фиг. 15. К задаче 8.
2) В общем случае график одной или более величин может быть получен из графика другой из трех величин путем измерения площади под кривыми. Какой (каких) именно? Объясните, почему.
3) Мотоциклист стартует из положения покоя и движется в течение 6 сек с ускорением 4,5 м/сек2; в течение 10 сек он движется с постоянной скоростью, а затем тормозит и останавливается за 4 сек, двигаясь с постоянным замедлением. Начертите для этого движения три графика: I, II, III,