Если какая-то часть движения падающего камня расходуется на трение о воздух, то сумма энергий не будет постоянной. Кинетическая энергия будет расти медленнее, так как трение требует своей доли. Поэтому без учета теплоты (и энергии воздушных токов), идущей на нагревание воздуха из-за трения, мы не получим закона сохранения энергии.
В пункте (б) мы выбрали некрасивый способ вычисления v; сначала из формулы s = v0t + 1/2 at2 нашли время, затем из v = v0 + at определили скорость. Все это делалось для того, чтобы избежать незнакомой нам формулы v2 = v20 + 2as. А если мы воспользуемся ею, то мгновенно получим
v2 = 02 + 2∙9,8∙10 = 196 м2/сек2,
v = √196 = 14 м/сек.
Кроме того, ясно, что эта формула немедленно дает сохранение энергии, ибо из нее и было получено 1/2 Mv2.
Более общая алгебраическая форма записи. Предположим, что камень массой m начинает падать с начальной скоростью v0 с высоты h0. К моменту, когда его высота станет h1, он пройдет расстояние (h0 — h1) с ускорением g, направленным вниз, так что его скорость их будет определяться выражением
v21= v20 + 2g∙(h0 — h1)
Поэтому сумма кинетической и потенциальной энергий равна
1/2 mv21 + mgh1 = 1/2∙m∙[v20 + 2g∙(h0 — h1)] + mgh1 =
= 1/2 mv20 + mgh0 — mgh1 + mgh1 =
=1/2 mv20 + mgh0
т. е. первоначальной сумме кинетической и потенциальной энергий. Следовательно, на любой высоте h1 полная энергия та же, что и на первоначальной высоте h0.
Пример Д. Теплота и кинетическая энергия
Свинцовая пуля массой 0,006 кг, летящая со скоростью 400 м/сек, ударяет в стальную стенку и останавливается. Подсчитайте, насколько возрастет ее температура. Удельная теплоемкость свинца составляет 0,03, а 1 Кал = 4200 дж.
Примечание. Удельная теплоемкость 0,03 означает, что свинец требует в 0,03 раза больше тепла, чем та же масса воды при нагревании на одну и ту же температуру (см. гл. 27). Для нагревания воды массы М на ΔТ° С требуется М∙ΔТ Кал. А в случае свинца потребуется теплоты в 0,03 раза больше, или М∙ΔТ∙(0,03) Кал
Предположим, что вся кинетическая энергия пули превратится в теплоту
1/2 mv2 = 1/2∙(0,006)∙(4002) = (0,006)∙80 000 дж.
Если повышение температуры (ΔТ) равно ΔТ° С, то поглощенное свинцом количество тепла равно
(МАССА)∙(ПОВЫШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ)∙(УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ) =
= (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03) Кал =
= (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03)∙(4200) дж
Если вся кинетическая энергия переходит в теплоту и если вся теплота остается в свинце, то (0,006)∙(80 000) дж должны быть равны (0,006)∙(ΔТ)∙(0,03)∙(4200) дж. Сокращая на массу пули, 0,006 (кстати, почему она должна сократиться?) и разрешая относительно ΔТ, получаем
ΔТ = 80 000/(0,03)∙(4200) = 635 °C
Как и многие ответы к задачам в учебниках, и этот ответ далек от реальности, ибо такое повышение температуры привело бы к плавлению свинца, а в реальном соударении часть теплоты передается стенке.
Замкнутые системы
Любые законы сохранения энергии, импульса, воды, денег… должны иметь дело с «замкнутой системой». Мы проводим вокруг рассматриваемой области мысленную границу, и должны быть уверены, что ни одна из сохраняющихся величин не пересекает этой границы. Тогда, утверждая, что нечто сохраняется, мы имеем в виду, что в пределах этой границы оно не может быть ни создано, ни уничтожено (не считая равных количеств положительного и отрицательного) и возможен лишь обмен. Доведенное до предела, это требование вынуждает нас в качестве замкнутой системы брать всю Вселенную, но в большинстве случаев даже небольшая совокупность тел или частиц оказывается практически замкнутой системой.