Вряд ли можно доказать закон сохранения денег для отдельного человека или для отдельного города. В каждом из этих случаев система не замкнута: деньги постоянно обращаются — текут то туда, то сюда. Однако можно обнаружить «закон сохранения денег» на небольшом острове. Требование замкнутости кажется достаточно очевидным, забыв о нем, можно прийти к парадоксам. Стреляющее ружье не составляет замкнутой системы ни с точки зрения количества движения (импульса), ни с точки зрения энергии — и то, и другое возрастает. Но если ружье поставить на колеса, то ружье + пуля + газы образует практически замкнутую систему в отношении количества движения: все они получают равные, но противоположные количества движения, а полное количество движения системы остается неизменным. Для энергии нам нужно взять ружье + порох + пулю; только тогда можно рассчитывать на ее сохранение.
Сохранение механической энергии: Епот + Екин = const
Предположим, что у нас есть замкнутая система с точки зрения энергии, т. е. таких сил, которые бы вносили и уносили энергию через границу, нет. Результирующая сил, действующих на систему извне, должна быть равна нулю. Все внутренние силы должны распадаться на пары: F1 и — F1, F2 и — F2 и т. д. (третий закон Ньютона). Разлагая силы на подходящие компоненты и умножая их на пройденное расстояние, мы можем для любых изменений внутри системы вычислить передачу энергии. Для этого требуется досконально изучить геометрию системы и понимать, что силы — это векторы и действуют они независимо друг от друга. Здесь мы не будем вдаваться в подробности, но если все силы подобны упругим или силе тяжести, то они приведут к равным, противоположным переходам между различными сортами кинетической и потенциальной энергий. Рассуждения, однако, становятся несправедливыми, если встречаются силы, подобные трению, которые противятся всякому скольжению (т. е. не похожи на пружину, которая противится движению в одну сторону и помогает в другую). Если вы тащите камень без трения вверх по склону из точки А в точку В, то прирост потенциальной энергии будет одинаков для прямого пути из А в В в для окольного. Но на шероховатом склоне чем длиннее путь, тем больше энергии переходит в теплоту. Таким образом, существенная особенность, позволяющая утверждать, что сумма потенциальной и кинетической энергий постоянна, состоит в следующем:
Потенциальная энергия зависит только от положения концов пружины, тела в поле сипы тяжести и т. п. Изменение потенциальной энергии не зависит от выбранного пути.
Кинетическая энергия зависит только от скорости, но не от пути или времени, требуемого для ее достижения.
Мощное средство
Постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий избавляет нас от многих вычислений. Для «консервативных систем», у которых отсутствует трение, на некоторые вопросы можно ответить, не вычисляя внутренние силы. Например, маятник длиной 5 м с гирей массой 4 кг отклонили на 4 м по горизонтали и отпустили. Какова будет скорость гири в низшей точке?
Фиг. 59.
Маятник напоминает тело, скатывающееся по наклонной плоскости с переменным наклоном. Ускоряющая сила постоянно изменяется, и чтобы получить ответ сложением всех приращений скорости, пришлось бы немало потрудиться. Однако сохранение энергии позволяет найти его очень быстро:
(КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ + ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ в начальной точке) = (КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ + ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ в низшей точке) = 0 + (4 кГ)∙(9,8 ньютон/кГ)∙(2 м) = 1/2∙(4 кГ)∙(скорость)2 + 0,
т. е.
v2 = 39,2, а v = 6,26 м/сек.
Этот метод применим для любых путей — прямых, кривых, даже вверх и вниз, но при условии, что можно пренебречь трением. Так что теперь мы можем избавиться от правила Галилея для движения по наклонной плоскости (к которому мы обращались на ранней стадии). Масса М скатывается без трения из состояния покоя по наклонной плоскости высотой h и длиной L. Изменение потенциальной энергии равно Mgh, а увеличение кинетической энергии равно 1/2Mv2. Поверив в закон сохранения, мы говорим: поскольку 1/2 Mv2 = Mgh, то v2 = 2gh. Это дает конечную скорость = √(2gh).