Фиг. 98. Графики в декартовой системе координат.
График II иллюстрирует уравнение у = kх + с. В этом случае мы не можем сказать, что у ~ х, но можем сказать, что Δу ~ Δх.
На графике III изображена окружность, причем
для точки P1
x21 + у21 = R2
для точки P2
x22 + у22 = R2
таким образом, уравнение этой окружности имеет вид
x2+ у2= R2
Его можно переписать так:
x2/R2 + y2/R2 = 1
Эллипс можно получить равномерным растяжением окружности.
Нарисуйте окружность на листе резины и растяните этот лист (фиг. 99).
Фиг. 99. Растяжение окружности в эллипс.
Радиус R превратится в полуоси а и b. Окружность в соответствии о уравнением x2/R2 + y2/R2 = 1 и с площадью круга πR2 = π∙R∙R превратится в эллипс, описываемый уравнением…?.. = 1 и площадью =?
Таким образом, с помощью декартовой геометрии эллиптические орбиты можно записать в виде алгебраических уравнений.
Возникли две серьезные математические проблемы, связанные с вычислениями: определение угла наклона касательных к кривым и площадей под кривыми с помощью математики, т. е. создание методов дифференцирования и интегрирования. Тангенс угла наклона касательной определяет скорость изменения функции. Вычисления сводятся просто к нахождению скорости изменения функции в некоторой точке. Это позволяет нам вычислять ускорения из выражения, описывающего изменение скорости, или скорости из выражения, связывающего расстояние и время. (Например: если s = 16t2, то v = 32t; отсюда следует, что а = 32, т. е. постоянное значение.) Интегрирование — операция сложения бесконечно большого числа бесконечно малых величин: нахождение площади путем сложения элементов исчезающе малых размеров (как и в случае второго закона Кеплера) или нахождение силы притяжения между телами конечных размеров путем суммирования сил притяжения бесконечно малых элементов объема этих тел.
Вы уже пользовались графиками и вычислениями ранее, при решении задачи о колесе, катящемся вниз с холма.
1. ЭКСПЕРИМЕНТ —> ГРАФИК. Вы наносите на график зависимость s от t2. Точки изображают события. Проведенная через эти точки прямая представляет собой совокупность фактов.
2. РАЗМЫШЛЕНИЯ —> ТЕОРИЯ. Предположите, что ускорение постоянно, рассматривая это как возможный простой закон природы. Вычислите необходимое соотношение между s и t. При интегрировании будут складываться все маленькие расстояния, проходимые с возрастающей скоростью; при этом получится, что при постоянном ускорении s должно меняться пропорционально t2.
3. ПРОВЕРКА. Проведите через начало координат прямую, представляющую теоретическое соотношение s ~ t2. Если ваши точки лежат близко к этой прямой, то это значит, что движение колеса происходит с ускорением, близким к постоянному. Прямая линия на вашем графике «пробная»; проводя ее, вы отвечаете на вопрос, «имеет ли место движение с постоянным ускорением». Проведя на вашем графике наиболее подходящую к экспериментальным точкам кривую, вы подтвердите вашу гипотезу — и получите таким образом закон, справедливый в данном случае.