Чтобы найти количество сочетаний п объектов, взятых по г, мы пользуемся таким выражением:
Следующее выражение соответствует частному между факториалами, называемому числом сочетаний:
Итак, если бы мы хотели вычислить, сколько групп из 3 книг мы можем выбрать из возможных 15, нам пришлось бы вычислять число сочетаний 15 элементов взятых по 3, что дало бы:
Но комбинаторика почти с начала времен используется не только в математике, как можно было бы подумать, но и во многих других дисциплинах. Упоминания о перестановках встречаются в древних ассирийских текстах или в греческих источниках. В иудейских документах утверждается, что буквы алфавита расставлены мистическим образом и, если правильно скомбинировать символы и знаки, можно получить любое создание. В самом Талмуде говорится, что с помощью перестановки букв, которым приписывается числовое значение, можно воспроизвести структуру мира. Каббала, которая может быть рассмотрена как система взглядов, раскрывающая аспекты, связанные с человеком, причиной его существования, его предназначением в жизни и так далее, — это наука о числах. В ней раскрывается, помимо прочего, тайный смысл слов, для чего используются три метода: гематрия (наука о числовом значении букв), нотарикон (наука о первой, срединной и последней буквах слов) и темура (наука о перестановке и сочетании букв). Нечто подобное существует и в арабской культуре, где на основе 28 букв, составляющих алфавит, каждая из которых символизирует целое число, открывается бесконечное количество сочетаний.
ARS MAGNA
Целью Раймунда Луллия было найти методы для обращения в христианство евреев и арабов, поэтому он подробно изучал их основные воззрения. Следовательно, на его философию повлияли обе эти культуры. Не углубляясь в детальное изучение его работы, упомянем аспекты, связанные с вычислением, оказавшие влияние на Лейбница.
Ars magna («Великое искусство»), работа Луллия, опубликованная в 1308 году, преследует главную цель — познание Бога. Она основана на комбинаторной логике, и в ней сделана попытка найти все существующие в мире знания на основе нескольких понятий и принципов, которые, благодаря своим сочетаниям, могут охватить все науки. Ars magna тесно связана с логическим рассуждением, и в ней утверждается, что логика служит не только для того, чтобы установить справедливость умозаключений, но и для того, чтобы создавать новые умозаключения с помощью их сочетаний. В работе выделяется ряд принципов, абсолютных и относительных. Первые соответствуют свойствам Бога, в то время как вторые относятся к понятиям взаимодействия между объектами. Луллий связывает алфавит со свойствами Бога. Например, А соответствует самому Богу, следующие буквы — Его различным достоинствам...
Доброта
В
Могущество
Е
Добродетель
Н
Величие
С
Мудрость
F
Истина
I
Вечность
D
Воля
G
Слава
J
Если мы вычислим число сочетаний этих элементов, взятых по два, то получим сумму возможных суждений:
результаты представлены в следующей таблице.
ВС
CD
DE
EF
FG
GH
HI
U
BD
СЕ
DF
EG
FH
GI
HJ
BE
CF
DG
ЕН
FI
GJ
BF
CG
DH
EI
FJ
BG
СН
DI
EJ
ВН
CI
DJ
BI
CJ
BJ
В качестве дополнения Луллий создал ряд из четырех аксиоматических фигур, смешав одни начала с другими. Ему нужно было механически осуществить то, что ему не позволяли сделать скудные математические познания. Одна из таких фигур соответствовала предыдущей таблице, другая — это круг (как на рисунке 1), поделенный на девять секторов, в которых находились абсолютные начала. На этом круге все достоинства равноудалены от центра, где находится Бог. Под каждой буквой располагается существительное и прилагательное, и каждый сектор связан с другими восьмью, указывая все возможные сочетания. Их можно перемешивать, при этом существительные превращаются в прилагательные и получается, например, великая доброта или доброе величие.
Другая фигура является чем- то вроде комбинаторной машины, в которой находятся три концентрических круга: наименьший вертится относительно среднего, средний — относительно наибольшего, а наибольший остается неподвижен. Таким образом выбираются понятия, которые выстроены в линию на дисках.
РИС.1
РИС. 2
Фигуры, придуманные Раймундом Луллием для своей логической машины, включенные в Ars Magna.
СОЧИНЕНИЕ ОБ ИСКУССТВЕ КОМБИНАТОРИКИ
Признано, что Луллий повлиял на Лейбница, хотя последний критиковал работу первого, говоря, что его искусство...
«...всего лишь тень настоящего искусства комбинаторики [...]. Он далек от этого искусства так же, как хвастун далек от человека красноречивого и в то же время твердого».
Однако некоторые авторы утверждают, что Лейбниц был захвачен Ars magna и что она послужила основой его идей о комбинаторике.
В 1666 году Лейбниц опубликовал свое сочинение «Об искусстве комбинаторики», в котором он представлял новые результаты в области логики и математики. Именно тогда в первый раз было использовано слово «комбинаторика» в том смысле, в котором мы применяем его сегодня. В зрелые годы Лейбниц раскаялся в том, что опубликовал эту работу, поскольку не считал ее достаточно продуманной. Однако в ней представлены его философские интересы и направления дальнейших поисков, несмотря на то что он к тому времени еще не решил посвятить себя какой-либо конкретной науке. Для Лейбница философские идеи были гораздо важнее, чем математические. В этом нет ничего удивительного, поскольку некоторые философы считали, что математика искажает смысл естественных вещей и, следовательно, вредит натурфилософии. Среди них можно упомянуть итальянцев Пико делла Мирандолу (1463-1494) и Джордано Бруно (1548-1600).
В данном сочинении Лейбниц развивает идею, посещавшую его еще в школьные времена: использовать комбинаторику для получения алфавита человеческой мысли — позже он назовет это «универсальной наукой». Следуя Луллию, Лейбниц думал: как на основе алфавита с помощью сочетаний и перестановок можно получить любое слово или фразу, так же из простых и фундаментальных понятий можно вывести все истины. Главный тезис Лейбница заключался в том, что все логические пропозиции можно свести к правильным сочетаниям субъекта и предиката. Он развивал логику открытия и изобретения в противоположность доказательной логике других классических философов.
Сочетания в целом были обозначены Лейбницем словом «комплексии», и он использовал слово «комбинации» для объектов, взятых по два. Когда речь шла о трех объектах, он употреблял слово «контернации», или «конации», и так далее.
В своей работе Лейбниц пытается использовать комбинаторику применительно к праву, музыке и даже теории Аристотеля об образовании четырех основных элементов на основе комбинаций четырех первичных свойств. Если взять данные свойства по два, получаются следующие различные сочетания: