Рис. 1.1. Силы, действующие на грузы во время движения
Разумеется, этот результат можно получить и строго. Рассматривая действующие на грузы силы (рис. 1.1) и проецируя уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов на вертикальное направление, получаем
𝑀𝑔
-
𝑇
=
𝑀𝑎
,
(1)
𝑚𝑔
-
𝑇
=-
𝑚𝑎
.
(2)
Исключая из этих уравнений ускорение грузов 𝑎 находим
𝑇
=
2𝑚𝑀
𝑚+𝑀
𝑔
.
При 𝑚≪𝑀 в знаменателе можно пренебречь 𝑚 по сравнению с 𝑀. Это даёт 𝑇≈2𝑚𝑔
А теперь предположим, что, начав решать эту задачу строго и записав уравнения (1) и (2), мы сообразили, что при заданном условии 𝑚≪𝑀 ускорение 𝑎 практически равно 𝑔. Тогда для нахождения 𝑇 можно подставить это значение ускорения 𝑎=𝑔 в уравнение (1) или (2). Подстановка 𝑎=𝑔 в уравнение (2) действительно даёт значение 𝑇=2𝑚𝑔. А вот подстановка в уравнение (1) приводит к неожиданному результату 𝑇=0. В чем же тут дело? Ведь уравнения (1) и (2) точные, и строгое решение возможно только при использовании обоих этих уравнений.
Этот пример ярко иллюстрирует то обстоятельство, что в физике понятия «малая величина» и «большая величина» сами по себе бессмысленны. Если «большая» или «малая», то обязательно должно быть указано, по сравнению с чем. Подставляя приближённое значение 𝑎=𝑔 в уравнения (1) или (2), мы выражаем силу натяжения нити 𝑇 через силу тяжести, действующую соответственно на тяжёлый или на лёгкий груз. Поскольку сила 𝑇 того же порядка величины, что и сила тяжести лёгкого груза 𝑚𝑔, то уравнение (2) даёт правильный ответ.
Подстановка 𝑎=𝑔 в уравнение (1) не приводит к правильному ответу, ибо по сравнению с большой величиной 𝑀𝑔 и нуль, и 2𝑚𝑔 - это почти одно и то же. Чтобы уравнение (1) приводило к правильному ответу, в нем нужно учесть малое отличие 𝑎 от 𝑔.
Используя понятие большой или малой величины, нужно обязательно отдавать себе отчёт, с чем эта величина сравнивается. И хотя во многих случаях это явно не оговаривается, но всегда подразумевается. Так, например, в этой задаче, пренебрегая массой блока и массой нити, мы не оговорили, по сравнению с чем малы эти величины. А кстати, по сравнению с чем? ▲
2. Нефизическая задача.
Тело сбрасывается в воду с некоторой высоты без начальной скорости; при этом измеряется глубина его погружения за одну секунду после вхождения в воду. Установлено, что если начальную высоту изменить в 𝑘 раз, то глубина погружения изменится в 𝑙 раз. При каких соотношениях между 𝑘 и 𝑙 тело тонет в воде? Сопротивлением воздуха и воды пренебречь.
△ Любой физический процесс представляет собой сложное явление. Составляя условие задачи, мы фактически всегда упрощаем рассматриваемые явления, отбрасывая несущественные, а часто, к сожалению, и существенные стороны. Например, решая задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту, мы пренебрегали сопротивлением воздуха.
В рассматриваемой задаче предлагается пренебречь ещё и сопротивлением воды. Если пренебрежение сопротивлением воздуха часто бывает оправданным (особенно при малых скоростях), то пренебрегать сопротивлением воды в этой задаче нельзя, так как получаемые при таком подходе результаты не имеют ничего общего с действительностью: бессмысленно было бы проверять полученный ответ на опыте. Действительно, мы не учитываем фонтан брызг, поднимаемых телом при ударе о воду; расходящуюся по поверхности волну; вязкость воды; не учитываем движение воды, вытесняемой телом.
И всё же такие «нефизические» задачи имеют право на существование: во-первых, благодаря своей чёткой постановке (в условии указано, чем пренебречь) они позволяют научиться применять физические законы для количественного анализа искусственно упрощённых явлений; во-вторых, в некоторых случаях такое решение может послужить основой (нулевым приближением) для дальнейших уточнений.
Но вернёмся к нашей «нефизической» задаче. Даже при таких упрощениях на первый взгляд не ясно, с чего начинать. Обратимся к вопросу, поставленному в задаче: при каком условии тело тонет в воде? Тело тонет, если его масса 𝑚 больше массы воды 𝑚₀ того же объёма, что и тело. Таким образом, требуется выяснить, при каких условиях 𝑚₀/𝑚<1.
Движение тела в воде происходит под действием двух постоянных сил: силы тяжести 𝑚𝑔 и выталкивающей силы Архимеда -𝑚₀𝑔, и, следовательно, будет равнопеременным с ускорением 𝑎=𝑔(1-𝑚₀/𝑚). Поскольку скорость тела перед входом в воду 𝑣₀=√2𝑔ℎ то перемещение тела в воде за время 𝑡
𝑠₁
=
√
2𝑔ℎ
𝑡
+
⎛
⎜
⎝
1+
𝑚₀
𝑚
⎞
⎟
⎠
𝑔𝑡²
2
.
Во втором случае, когда тело сброшено с высоты 𝑘ℎ перемещение тела в воде за то же время 𝑡
𝑠₂
=
√
2𝑘𝑔ℎ
𝑡
+
⎛
⎜
⎝
1+
𝑚₀
𝑚
⎞
⎟
⎠
𝑔𝑡²
2
.
По условию задачи 𝑠₁/𝑠₂=𝑙 т.е.
√2𝑘𝑔ℎ +
⎛
⎜
⎝ 1+
𝑚₀
𝑚
⎞
⎟
⎠
𝑔𝑡
2
√2𝑔ℎ +
⎛
⎜
⎝ 1+
𝑚₀
𝑚
⎞
⎟
⎠
𝑔𝑡
2
=
𝑙
.
(1)
Обозначим для удобства (1-𝑚₀/𝑚)𝑔𝑡/2 через 𝑥. Тело будет тонуть при 𝑚₀/𝑚<1, т.е. при 𝑥>0. Запишем уравнение (1), используя введённое обозначение:
√
2𝑘𝑔ℎ
+
𝑥
=
𝑙(√
2𝑔ℎ
+𝑥)
.
(2)
Выясним, при каком условии корень этого уравнения 𝑥=√2𝑔ℎ(√𝑘-𝑙)/(𝑙-1) положителен. Элементарным анализом можно убедиться, что при 𝑘>1 значение 𝑥 положительно при 𝑙<√𝑘 а при 𝑘<1 значение 𝑥>0 при 𝑙>√𝑘.
Таким образом, полученный результат можно сформулировать следующим образом. Тело будет тонуть в воде, если при увеличении начальной высоты в 𝑘 раз глубина погружения за первую секунду увеличится менее чем в √𝑘 раз. Если же глубина погружения за первую секунду возрастёт более чем в √𝑘 раз, то тело будет всплывать.
Подумаем теперь, как можно уточнить решение этой задачи, если отказаться от некоторых из сделанных выше упрощающих предположений. Оказывается, сравнительно просто можно учесть движение воды, вытесняемой телом.
Прежде всего отметим, что при равномерном движении тела в жидкости сопротивление, которое оказывает жидкость его движению, обусловлено силами вязкого трения. Однако при неравномерном движении картина будет существенно иная. Даже при движении в идеальной жидкости следует учитывать, что ускорение сообщается не только телу, но и частицам самой жидкости. Как это скажется на движении тела?
Чтобы покоившееся тело массы 𝑚 привести в движение со скоростью 𝑣, нужно совершить работу, равную 𝑚𝑣²/2. Из-за увлечения жидкости, окружающей тело, её частицы приобретут скорости, пропорциональные скорости тела 𝑣. В результате увлечённая телом жидкость будет обладать кинетической энергией, пропорциональной 𝑣², для сообщения которой потребуется дополнительная работа. Поэтому работа по приведению в движение погружённого в жидкость тела пропорциональна 𝑣², но больше 𝑚𝑣²/2. Записывая эту работу в виде