𝐴
=
𝑀𝑣²
2
,
где 𝑀>𝑣 приходим к выводу, что при погружении тела в жидкость оно будет двигаться под действием внешних сил так, как будто его масса увеличилась. Дополнительная, так называемая присоединённая масса характеризует инертные свойства окружающей жидкости. Значение присоединённой массы зависит от плотности жидкости и формы тела.
Посмотрим, что изменится в решении задачи при учёте присоединённой массы. Очевидно, что ускорение тела при его движении в жидкости под действием силы тяжести 𝑚𝒈 и выталкивающей силы 𝑚₀𝒈 будет равно 𝒂'=𝒈(𝑚-𝑚₀). Именно на эту величину заменится ускорение 𝑎=𝑔(1-𝑚₀/𝑚) в выражениях для 𝑡₁ и 𝑡₂ и в уравнении (1). Если теперь через 𝑥 обозначить 𝑔(𝑚-𝑚₀)𝑡/2𝑀, то уравнение (2) будет иметь прежний вид. Так как тело тонет при 𝑚>𝑚₀, то из уравнения (2), как и раньше, нужно найти условия, при которых 𝑥>0.
Таким образом, учёт присоединённой массы не изменяет ответа в этой задаче. ▲
3. Санки на горе.
Склон горы образует угол α с горизонтом. Под каким углом β (рис. 3.1) следует тянуть за верёвку, чтобы равномерно тащить санки в гору с наименьшим усилием? Какова должна быть эта сила?
Рис. 3.1. Под каким углом β следует тянуть за верёвку?
Рис. 3.2. Силы, действующие на санки
△ Считая санки материальной, точкой, можно принять что все действующие на санки силы - и сила тяжести 𝑚𝒈, и сила реакции поверхности горки 𝑸, и сила 𝑭, с которой тянут за верёвку, - приложены в одной точке (рис. 3.2). При равномерном движении санок векторная сумма всех действующих сил равна нулю:
𝑭
+
𝑸
+
𝑚𝒈
=
0.
(1)
Для исследования уравнения (1) спроецируем это векторное равенство на два взаимно перпендикулярных направления: вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. При этом учтём, что проекция силы 𝑸 на направление нормали к плоскости есть нормальная сила реакции 𝑵, а проекция 𝑸 на направление вдоль плоскости есть сила трения скольжения 𝑭тр. В результате вместо (1) получим
𝐹 cos β
-
𝐹
тр
-
𝑚𝑔 sin α
=
0,
(2)
𝐹 sin β
+
𝑁
-
𝑚𝑔 cos α
=
0.
(3)
Для исследования зависимости силы 𝐹 от угла β необходимо исключить из этих уравнений 𝑁 и 𝐹тр, так как они сами зависят от угла β. На основании закона Кулона - Амонтона
𝐹
тр
=
μ𝑁
.
(4)
Выражая силу 𝑁 из уравнения (3) и подставляя в (4), получаем
𝐹
тр
=
μ(
𝑚𝑔 cos α
-
𝐹 sin β
).
(5)
Учитывая это выражение для силы трения, из уравнения (2) находим
𝐹
=
𝑚𝑔
sin α+μ cos α
cos β+μ sin β
.
(6)
Числитель этого выражения не зависит от β, поэтому сила 𝐹 будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Поэтому будем искать максимум выражения
ƒ(β)
=
cos β
+
μ sin β
.
(7)
Для нахождения максимума можно приравнять нулю производную этой функции: ƒ'(β)=0. Можно найти максимум и элементарно, сведя ƒ(β) к одной тригонометрической функции угла β. Введём некоторую величину φ так, чтобы tg φ был равен коэффициенту трения μ:
μ
=
tg φ
=
sin φ
cos φ
.
(8)
Такая замена возможна при любом μ, так как тангенс изменяется от -∞ до ∞. Подставляя μ, из соотношения (8) в выражение (7) и приводя правую часть к общему знаменателю, получаем
ƒ(β)
=
cos β cos φ + sin β sin φ
cos φ
=
cos(β-φ)
cos φ
.
(9)
Теперь очевидно, что величина ƒ(β) максимальна при β=φ, т.е. при
β
=
arctg μ
.
(10)
Вот под таким углом β и следует тянуть санки за верёвку. Сила 𝐹 при этом будет наименьшей. Чтобы найти её, подставим в (6) выражение (8) для μ и учтём, что в интересующем нас случае φ=β. В результате после простых преобразований получаем
𝐹
=
𝑚𝑔
sin(α+β)
.
(11)
Проанализируем полученный ответ. Прежде всего отметим, что приведённое решение имеет смысл только тогда, когда получившееся значение β таково, что α+β≤π/2. Если α+β>π/2, то, как видно из рис. 3.2, сила 𝑭 отклонялась бы влево от вертикали и не могла бы тащить санки в гору. В предельном случае α+β=π/2 сила 𝑭 направлена вертикально вверх и, как видно из формулы (11), равна по модулю силе тяжести 𝑚𝑔. Это значит, что сила 𝑭 просто удерживает санки на весу, а сила 𝑸 равна нулю.
Таким образом, форма ответа зависит от угла α и коэффициента трения μ. Если α+arctg μ>π/2, то ответ на поставленные вопросы даётся формулами (10) и (11). В противном случае сила 𝑭 должна быть направлена вертикально вверх и равна по модулю силе тяжести 𝑚𝑔.
Эта задача допускает изящное графическое решение. Для этого заметим, что формально введённая соотношением (8) величина φ имеет простой физический смысл: в силу закона Кулона - Амонтона (4) φ есть угол, образованный силой реакции опоры 𝑸 с нормалью к наклонной плоскости (рис. 3.2). Поэтому уравнение (1) легко исследовать графически.
Рис. 3.3. Графическое определение наименьшей силы 𝑭
Сначала изобразим на чертеже известную и по модулю, и по направлению силу 𝑚𝑔 (рис. 3.3). Что касается слагаемого 𝑸, то нам заранее известно только его направление: как видно из рис. 3.2, оно составляет угол φ=arctg μ с нормалью к наклонной плоскости, т.е. угол α+φ с вертикалью. Поэтому через конец вектора 𝑚𝒈 проводим прямую, составляющую угол α+φ с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу 𝑸, совмещая её начало с концом вектора 𝑚𝒈. Далее в соответствии с уравнением (1) строим силу 𝑭, которая должна замыкать треугольник сил, т.е. соединять конец вектора 𝑸 с началом вектора 𝑚𝒈. Из рис. 3.3 видно, что модуль силы 𝑭 будет наименьшим, когда её направление образует прямой угол с направлением 𝑸, т.е. угол α+φ с горизонтом или, другими словами, угол φ=arctg μ со склоном горы.
Из рис. 3.3 видно, что это решение имеет смысл, только если α+arctg μ<π/2. Обычно коэффициент трения невелик, и это условие не выполняется только при углах α, близких к π/2. Значит, решение, выражаемое формулой (10), может оказаться несправедливым только при подъёме на очень крутую гору.
В заключение предлагаем подумать над вопросом, почему передние колеса деревенской телеги, к оси которой прикрепляются оглобли, как правило, меньше задних. ▲
4. Доски на наклонной плоскости.
На наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, лежат две доски, одна на другой (рис. 4.1). Можно ли подобрать такие значения масс досок 𝑚₁ и 𝑚₂, коэффициентов трения досок о плоскость μ₁ и друг о друга μ₂, чтобы нижняя доска выскользнула из-под верхней? В начальный момент доски покоятся.