𝑽
=
𝒗
+
𝒖
.
(1)
Соотношение (1) графически проиллюстрировано на рис. 6.1, где учтена указанная ортогональность векторов 𝑽 и 𝒗. Из этого рисунка видно, что при проскальзывании монеты её скорость 𝑽 в лабораторной системе всегда меньше скорости подставки 𝒖=ω𝑟. По условию вектор 𝒖 поворачивается с угловой скоростью ω, поэтому и весь треугольник скоростей на рис. 6.1 вращается как целое, так что взаимное расположение всех векторов остаётся неизменным. Это означает, что угол α между векторами 𝒖 и 𝒗 фактически характеризует отставание по фазе вектора 𝑽 скорости монеты от вектора 𝒖 скорости подставки.
Рис. 6.1. Взаимное расположение векторов скоростей 𝑽 монеты и 𝒖 подставки
Для определения радиуса 𝑅 круговой траектории монеты в лабораторной системе отсчёта воспользуемся вторым законом Ньютона, т.е. приравняем силу трения скольжения μ𝑚𝑔 произведению массы 𝑚 монеты на ускорение ω²𝑅: μ𝑔=ω𝑅. Отсюда
𝑅
=
μ𝑔
ω²
,
ω²𝑟
μ𝑔
≥
1.
(2)
Интересно отметить, что при проскальзывании монеты радиус 𝑅 траектории движения монеты не зависит от радиуса 𝑟 окружностей, по которым движутся точки подставки. Однако радиус 𝑅, как видно из (2), не превосходит 𝑟 и становится равным ему только при предельном значении параметра ω²𝑟/μ𝑔=1, когда проскальзывание прекращается.
Не представляет труда найти и радиус ρ окружности, по которой монета движется относительно подставки. Все фигурирующие в формуле (1) скорости связаны с радиусами соответствующих окружностей соотношениями
𝑉
=
ω𝑅
,
𝑣
=
ωρ
,
𝑢
=
ω𝑟
.
(3)
Поскольку треугольник скоростей на рис. 6.1 прямоугольный, то с помощью теоремы Пифагора и соотношений (3) получаем
𝑟²
=
ρ²
+
𝑅²
,
откуда
ρ
=
√
𝑟²-𝑅²
.
(4)
Подставляя сюда найденное значение 𝑅 из (2), находим
ρ
=
𝑟
⎡
⎢
⎣
1-
⎛
⎜
⎝
μ𝑔
ω²𝑟
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
,
ω²𝑟
μ𝑔
≥
1.
(5)
Видно, что радиус ρ следа, который монета вычерчивает на подставке, также меньше радиуса 𝑟 траектории движения подставки.
Соотношение между ρ и 𝑅 может быть различным. При «быстром» движении, когда ω²𝑟/μ𝑔≫1, монета в инерциальной лабораторной системе отсчёта практически стоит на месте (𝑅≪𝑟), а подставка под ней описывает окружности радиуса 𝑟, так что ρ≈𝑟. При медленном движении подставки, когда ω²𝑟/μ𝑔≳1, монета почти не отстаёт от подставки, описывая в лабораторной системе отсчёта окружности почти такого же радиуса (𝑅≈𝑟), так что ρ≈0.
Рис. 6.2. Траектория движения монеты и её след на подставке
На рис. 6.2 показаны траектория движения монеты в лабораторной системе отсчёта (окружность радиуса 𝑅) и след, который монета вычерчивает на подставке (окружность радиуса ρ) для случая, когда 𝑅>ρ. Если монета в лабораторной системе отсчёта движется по окружности против часовой стрелки, то относительно подставки её движение происходит по часовой стрелке.
Представляет интерес рассмотреть фазовый сдвиг α между движением подставки и монеты в рассматриваемых предельных случаях быстрого и медленного движения подставки. Проделайте это самостоятельно, учитывая, что, как следует из рис. 6.1, cos α=𝑉/𝑢=𝑅/𝑟. ▲
7. Брусок на наклонной плоскости.
Наклонная плоскость, составляющая угол α с горизонтом, движется горизонтально с ускорением 𝒂 в направлении, указанном на рис. 7.1. Как будет двигаться лежащий на ней брусок, если коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен μ?
Рис. 7.1. Наклонная плоскость движется с заданным ускорением 𝑎
△ Рассмотрим сначала простейший частный случай, когда плоскость покоится или движется равномерно (𝑎=0). При этом поведение бруска исследуется очень просто. Если μ≥tg α, брусок покоится на наклонной плоскости, при μ<tg α брусок ускоренно соскальзывает вниз.
Выясним теперь, при каком условии брусок будет неподвижно лежать на наклонной плоскости при её ускоренном движении. Очевидно, что ускорение бруска при этом должно совпадать с ускорением плоскости. Для этого необходимо, чтобы векторная сумма всех сил, действующих на брусок, была равна произведению его массы на ускорение 𝒂. На брусок действуют сила тяжести 𝑚𝒈, сила реакции наклонной плоскости 𝑵 и сила трения покоя 𝑭. Напомним, что сила трения покоя может изменяться от нуля до максимального значения, равного μ𝑁. Направлена она может быть как вверх, так и вниз вдоль наклонной плоскости. Если ускорение плоскости 𝒂₀ таково, что 𝑚𝒈+𝑵=𝑚𝒂₀, то сила трения отсутствует: 𝑭=0 (рис. 7.2а). Это, конечно, не значит, что доска вдруг стала гладкой! Просто при 𝒂=𝒂₀ относительная скорость бруска и поверхности равна нулю и в отсутствие силы трения, и поэтому сила трения не возникает. Из рис. 7.2а видно, что 𝑎₀=𝑔 tg α.
Рис. 7.2. Силы, действующие на брусок, при разных ускорениях наклонной плоскости
Если ускорение наклонной плоскости 𝑎 немного меньше 𝑎₀ то в отсутствие трения, т.е. при μ=0, брусок соскальзывал бы вниз; при μ≠0 возникает сила трения, направленная вверх вдоль наклонной плоскости, и брусок остаётся неподвижным. Но поскольку сила трения покоя не может превышать μ𝑁, то при достаточно малом ускорении плоскости, меньшем некоторого значения 𝑎₁ брусок будет соскальзывать вниз. Это значение ускорения 𝑎₁ находится из условия, что сила трения 𝐹 равна своему максимальному значению μ𝑁 и направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 7.2б). Составим уравнение движения бруска 𝑚𝒈+𝑵+𝑭=𝑚𝒂₁ и спроецируем его на направления вдоль наклонной плоскости и по нормали к ней:
𝑚𝑔
sin α
-
μ𝑁
=
𝑚𝑎₁
cos α
,
𝑁
-
𝑚𝑔
cos α
=
𝑚𝑎₁
sin α
.
(1)
Исключая 𝑁, находим
𝑎₁
=
𝑔
sin α-μcos α
cos α+μsin α
.
(2)
Итак, если ускорение плоскости 𝑎<𝑎₁, брусок соскальзывает вниз.
Заметим, что при μ>tg α ускорение 𝑎₁ оказывается отрицательным. Какой в этом смысл? Напомним, что при μ≥tg α брусок не будет соскальзывать и при 𝑎=0 (наклонная плоскость неподвижна или движется равномерно). Брусок не будет соскальзывать и при 𝑎<0, когда ускорение плоскости направлено влево, до тех пор, пока модуль ускорения не превзойдёт |𝒂₁|. Действительно, уравнения (1) справедливы и тогда, когда ускорение 𝒂₁ направлено влево, если под 𝑎₁ понимать его проекцию на горизонтальное направление.