Авторы надеются, что книга окажется полезной для учащихся старших классов средней школы, профессионально-технических училищ и техникумов, а также для преподавателей и студентов вузов.
I. КИНЕМАТИКА
Кинематика изучает «геометрию» движения. Что мы под этим понимаем? «Геометрия» движения - это математическое описание движения тел без анализа причин, его вызывающих. Другими словами, без выяснения вопроса, почему рассматриваемое движение происходит именно так, а не иначе, устанавливается математическое соотношение между его различными характеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение, время движения.
Движение материальной точки всегда рассматривается в какой-либо системе отсчёта. Положение материальной точки можно определить, если задать её радиус-вектор 𝒓 или, что эквивалентно, три координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 - проекции радиус-вектора на оси декартовой системы координат. Движение математически описано полностью, если известен радиус-вектор как функция времени 𝒓(𝑡), т.е. известны три скалярные функции 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡). Например, для равномерного движения, т.е. движения с постоянной скоростью 𝒗, функция 𝒓(𝑡) имеет вид
𝒓(𝑡)
=
𝒓₀
+
𝒗𝑡
,
(1)
а для равнопеременного движения с ускорением 𝒂
𝒓(𝑡)
=
𝒓₀
+
𝑣₀𝑡
+
𝒂𝑡²
2
.
(2)
В этих формулах 𝒓₀ характеризует начальное положение точки, т.е. 𝒓₀=𝒓(𝑡)|𝑡=0=𝒓(0), 𝒗₀ - начальная скорость.
Подчеркнём, что в кинематике ускорение считается заданным. Ускорение находится либо опытным путём, либо расчётным с помощью законов динамики, когда известны силы, определяющие характер движения. Забегая вперёд, отметим, что уравнение (1) описывает движение материальной точки в инерциальной системе отсчёта, если на точку не действуют силы (или все действующие силы уравновешиваются), а уравнение (2) - если действующие силы постоянны. В последнем случае говорят, что движение тела происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что высота тела над поверхностью мала по сравнению с радиусом Земли. Разумеется, движение тела вблизи поверхности Земли описывается уравнением (2) только тогда, когда можно не учитывать сопротивление воздуха.
Итак, функция 𝒓(𝑡) содержит полную информацию о кинематике движения тела, т.е. ответ на любой вопрос в кинематических задачах можно получить, используя только зависимость 𝒓(𝑡). Никаких других физических законов при этом привлекать не требуется. Например, зависимость мгновенной скорости точки от времени в однородном поле может быть получена из соотношения (2) дифференцированием радиус-вектора по времени и имеет вид
𝒗(𝑡)
=
𝒗₀
+
𝒂𝑡
.
При решении задач мы будем записывать уравнение (2) непосредственно в проекциях на оси координат. При постоянном ускорении 𝒂 всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение (2) сводилось к двум скалярным: так как траектория, по которой движется тело, плоская, то нужно просто совместить, например, плоскость 𝑥, 𝑦 с плоскостью, в которой лежит траектория. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно двум скалярным уравнениям
𝑥(𝑡)
=
𝑥₀
+
𝑣₀
𝑥
𝑡
+
𝑎𝑥𝑡²
2
,
𝑦(𝑡)
=
𝑦₀
+
𝑣₀
𝑦
𝑡
+
𝑎𝑦𝑡²
2
.
(3)
В частности, если рассматривать движение тела вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести, то удобно направить ось 𝑦 вертикально вверх. Тогда вектор ускорения имеет только одну отличную от нуля проекцию: 𝑎𝑥=0, 𝑎𝑦=-𝑔, и система (3) принимает вид
𝑥(𝑡)
=
𝑥₀
+
𝑣₀
𝑥
𝑡
=
𝑥₀
+
𝑣₀
cos φ⋅𝑡
,
𝑦(𝑡)
=
𝑦₀
+
𝑣₀
𝑦
𝑡
-
𝑔𝑡²
2
=
𝑦₀
+
𝑣₀
sin φ⋅𝑡
-
𝑔𝑡²
2
,
(4)
где φ - угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Иногда удобно поместить начало координат в начальную точку траектории, тогда 𝑥₀=𝑦₀=0.
При равномерном движении материальной точки по окружности скорость изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю. Ускорение при этом направлено к центру окружности перпендикулярно скорости, т.е. по нормали к траектории, и равно по модулю
𝑎
=
𝑣²
𝑅
,
(5)
где 𝑅 - радиус окружности. Эта же формула справедлива и при движении точки с постоянной по модулю скоростью 𝑣 по произвольной криволинейной траектории. В этом случае 𝑅 есть радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Ускорение при этом направлено к центру кривизны, т. е, перпендикулярно скорости, направленной по касательной к траектории. Если же скорость меняется по модулю, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, даваемой той же формулой (5), будет ещё составляющая, направленная по вектору скорости или против него, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость движущейся материальной точки.
Решение кинематической задачи сводится к использованию указанных выше уравнений в конкретных условиях, сформулированных в задаче. При этом было бы наивно пытаться овладеть каким-то «общим методом» решения, пригодным для всех задач; подобного «общего метода» попросту не существует. Наоборот, на приводимых примерах читатель может убедиться, что всегда существует несколько более или менее различающихся между собой подходов к исследованию физических явлений.
Разные подходы нередко оттеняют новые стороны изучаемого явления, позволяя глубже проникнуть в его физический смысл. Поэтому в большинстве разбираемых задач приводятся различные варианты решения.
1. Переправа.
Представим себе реку с параллельными берегами, расстояние между которыми 𝑙 (рис. 1.1). Скорость течения по всей ширине реки одинакова и равна 𝒖.
Рис. 1.1. Скорость течения 𝒖 в любом месте реки одинакова
С какой наименьшей постоянной скоростью 𝒗min относительно воды должна плыть лодка, чтобы из точки 𝐴 попасть в точку 𝐵 на противоположном берегу, находящуюся на расстоянии 𝑠 ниже по течению? На какое минимальное расстояние 𝑠min снесёт лодку вниз по течению при переправе на другой берег, если модуль её скорости относительно воды равен 𝑣?
Рис. 1.2. Скорость лодки относительно берегов 𝑽 равна сумме векторов 𝒖 и 𝒗
△ Чтобы ответить на эти вопросы, нужно прежде всего отчётливо представить себе, что скорость лодки относительно берегов 𝑽 есть векторная сумма скорости течения 𝒖 и скорости лодки относительно воды 𝒗 (рис. 1.2):
𝑽
=
𝒖
+
𝒗
.
(1)
Будем считать, что лодка имеет относительно воды некоторую неизменную по модулю скорость 𝒗. Тогда, отправляясь из точки 𝐴, лодка сможет попасть в точку 𝐵 только в том случае, если её скорость относительно берегов 𝑽 удастся направить по прямой 𝐴𝐵 или левее этой прямой. Если ни при каком направлении 𝒗 мы не сможем получить в начальный момент результирующую скорость 𝑽 вдоль прямой 𝐴𝐵, то лодку обязательно снесёт течением ниже точки 𝐵 (рис. 1.3).