𝑅²
-
2𝑣₀²
𝑟
𝑅
,
откуда
Δ
𝑣₂²
=
𝑣₀²
⎛
⎜
⎝
𝑟²
𝑅²
-2
𝑟
𝑅
+1
⎞
⎟
⎠
.
(8)
Таким образом,
Δ
𝑣₂
=
𝑣₀
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑅
-1
⎞
⎟
⎠
.
(9)
Подставляя в эту формулу 𝑟=𝑅+ℎ получаем
Δ
𝑣₂
=
𝑣₀ℎ
𝑅
.
(10)
Сравнивая формулы (5) и (10), находим, что при использовании первого способа перехода на траекторию приземления с низкой круговой орбиты (ℎ≪𝑅) необходимая дополнительная скорость Δ𝑣 в 4 раза меньше.
Скорость в точке 𝐴, которую необходимо погасить для осуществления мягкой посадки, при использовании первого способа меньше. Это непосредственно следует из закона сохранения энергии при сравнении этих способов. Действительно, так как изменения потенциальной энергии одинаковы при обоих способах спуска, то кинетическая энергия в точке 𝐴 больше в том случае, в котором она больше сразу после срабатывания тормозного двигателя. Таким образом, и с этой точки зрения первый способ является предпочтительным. Более высокая скорость входа в плотные слои атмосферы, характерная для второго способа, предъявляет более жёсткие требования к теплозащитному экрану корабля. Преимущества первого способа становятся совсем очевидными, если речь идёт о посадке на лишённую атмосферы планету (например, на Луну), где скорость перед посадкой должна быть погашена двигателем.
Рис. 20.2. К расчёту точки срабатывания тормозного двигателя
В какой точке круговой орбиты должен сработать тормозной двигатель, чтобы приземление произошло в заданной точке 𝐴? При первом способе снижения эта точка, как мы видели, лежит на прямой, проходящей через точку 𝐴 и центр Земли (точка 𝐵 на рис. 20.1). А как при втором способе? На рис. 20.1 точка 𝐶, где срабатывает двигатель, расположена на прямой, проходящей через центр Земли и образующей прямой угол с радиусом Земли, проведённым в точку 𝐴. И это действительно так. Убедиться в этом можно, например, следующим образом.
Рассмотрим треугольник 𝐶𝑂𝑂' на рис. 20.2, который получается, если точку 𝐶 соединить с фокусами эллиптической траектории 𝑂 и 𝑂'. Согласно первому закону Кеплера фокус 𝑂 совпадает с центром Земли. Вычислим стороны 𝑠 и 𝑑 этого треугольника, используя свойства эллиптической орбиты, по которой движется корабль после срабатывания двигателя. При этом окажется, что 𝑑²+𝑟²=𝑠², т.е. для треугольника 𝐶𝑂𝑂' справедлива теорема Пифагора, и, следовательно, он прямоугольный.
Сторона 𝑑 как видно из рис. 20.2, равна разности 𝑟' и 𝑅:
𝑑
=
𝑟'
-
𝑅
.
(11)
Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов есть постоянная для данного эллипса величина. Приравнивая суммы расстояний до фокусов от точек 𝐶 и 𝐸, получаем
𝑠+𝑟
=
𝑟'+𝑅
,
откуда
𝑠
=
𝑟'+𝑅-𝑟
.
(12)
Таким образом, для нахождения 𝑑 и 𝑠 нужно вычислить 𝑟', т.е. расстояние от центра Земли до апогея эллиптической орбиты. Это можно сделать, используя закон сохранения энергии и постоянство секторной скорости. Приравнивая эти величины в точках 𝐶 и 𝐸, получаем
𝑟𝑣₀
=
𝑟'𝑣'
,
(13)
𝑚(𝑣₀²+Δ𝑣₂²)
2
-
𝑚𝑔𝑅²
𝑟
=
𝑚𝑣'²
2
-
𝑚𝑔𝑅²
𝑟'
.
(14)
Подставим в уравнение (14) 𝑣' из (13), Δ𝑣₂ из (9) и заменим, как и раньше, 𝑔𝑅² на 𝑣₀²𝑟. В результате получим
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑅
-1
⎞²
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
1-
𝑟
𝑟'
⎞²
⎟
⎠
.
(15)
Это квадратное уравнение для 𝑟 имеет два корня. Один корень 𝑟'-𝑅 соответствует перигею орбиты, т.е. точке 𝐴. Этот корень появляется потому, что правая часть уравнения (13) имеет одинаковый вид и для апогея, и для перигея, а уравнение (14) справедливо для всех точек траектории. Второй корень
𝑟'
=
𝑅𝑟
2𝑅-𝑟
(16)
соответствует искомому расстоянию до апогея.
Теперь остаётся только подставить 𝑟' из (16) в формулы (11) и (12) и убедиться, что 𝑑²+𝑟²=𝑠².
Глядя на рис. 20.1, легко сообразить, что для низкой круговой орбиты, когда эллиптические траектории спуска мало отличаются от круговой, возвращение на Землю по первому способу занимает приблизительно половину оборота вокруг Земли, а по второму способу - четверть.
В заключение сделаем следующее замечание. При нахождении добавочной скорости Δ𝑣₂ мы взяли только положительный корень уравнения (8). А имеет ли физический смысл отрицательный корень этого уравнения
Δ
𝑣₂
=-
𝑣₀
𝑟
𝑅-1
?
(17)
Знак минус перед этим выражением может означать, только то, что эта добавочная скорость направлена не к центру Земли, а в противоположном направлении - от центра Земли. Какая при этом получится траектория? Имеет ли она какое-либо отношение к решаемой задаче, т.е. к нахождению траектории снижения?
Рис. 20.3. Снижение корабля в точку 𝐴 возможно при сообщении ему в точке 𝐷 импульса, направленного от центра Земли
Взглянем ещё раз на рис. 20.1. Эллипс, соответствующий второму способу снижения, пересекается с исходной круговой орбитой корабля дважды: в точках 𝐶 и 𝐷. Из симметрии рисунка ясно, что модули скоростей на эллиптической орбите в точках 𝐶 и 𝐷 одинаковы. Если разложить скорости в этих точках на составляющие по двум взаимно перпендикулярным направлениям - вдоль круговой траектории и вдоль направления на центр Земли, - то, как ясно из рис. 20.3, соответствующие составляющие скорости будут одинаковы по модулю. Поэтому если кораблю в тот момент, когда он проходит через точку 𝐷 круговой орбиты, сообщить добавочную скорость Δ𝑣₂, направленную по радиусу от центра Земли (т.е. вертикально вверх!), то корабль сначала будет удаляться от Земли по эллиптической траектории, но потом, двигаясь по ней, всё равно придёт в точку 𝐴.
Уравнение (8) имеет корень (17), соответствующий этому случаю. Это и не удивительно: как закон сохранения энергии (7), так и закон постоянства секторной скорости (6) имеют один и тот же вид независимо от того, направлена ли добавочная скорость Δ𝑣₂ к центру или от центра Земли.
В случае низкой круговой орбиты возвращение на Землю по такому необычному способу займёт, как это видно из рис. 20.3, приблизительно три четверти оборота вокруг Земли. ▲
21. Метеорит.
На какой угол изменится направление скорости пролетающего мимо Земли метеорита под действием земного притяжения? Скорость метеорита на большом расстоянии от Земли 𝑣₀, прицельное расстояние 𝑙.
Рис. 21.1. Гиперболическая траектория полёта метеорита вблизи Земли
△ Качественно характер зависимости угла отклонения метеорита от скорости 𝑣₀ и прицельного расстояния 𝑙, т.е. расстояния от центра Земли, на котором пролетел бы метеорит, если бы не было земного притяжения (рис. 21.1), можно установить сразу: при заданной скорости 𝑣₀ этот угол тем меньше, чем больше 𝑙. Это ясно, так как на пролетающий на большом расстоянии метеорит ослабевающее с расстоянием земное притяжение влияет слабо. При заданном 𝑙 угол отклонения тем меньше, чем больше скорость 𝑣₀. В самом деле, при большой скорости время пролёта мало и сила земного тяготения не успевает вызвать заметного искривления траектории метеорита.