0
=
(𝑎+𝑏)
tg α
-
𝑔(𝑎+𝑏)²
2𝑣₀²
(1+tg²α)
.
(2)
Выражая из (2) начальную скорость 𝑣₀ и подставляя в (1), получим уравнение траекторий, проходящих через цель:
𝑦
=
𝑥
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑥
𝑎+𝑏
⎞
⎟
⎠
tg α
.
(3)
Придавая α разные значения в пределах от 0 до π/2, получаем все траектории, изображённые на рис. 6.1. Выделенная траектория получается при tg α=1 (α=π/4):
𝑦
=
𝑥
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑥
𝑎+𝑏
⎞
⎟
⎠
.
(4)
Выясним теперь, при каком условии эта траектория проходит над стеной. Для этого найдём высоту ℎ₁ точки траектории при 𝑥=𝑎:
ℎ₁
=
𝑎
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑎
𝑎+𝑏
⎞
⎟
⎠
=
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
.
Таким образом, если высота стены ℎ меньше, чем ℎ₁ то искомая траектория определяется выражением (4), а соответствующая ей начальная скорость 𝑣₀ легко находится из уравнения (2) при tg α=1:
𝑣₀
min
=
√
𝑔(𝑎+𝑏)
Это есть обычное соотношение между начальной скоростью и максимальной дальностью полёта по горизонтали.
Определим теперь искомую траекторию, если стена выше выделенной траектории: ℎ>ℎ₁ Как уже отмечалось, в этом случае нужно найти траекторию, проходящую через верхний край стены, т.е. положить в (3) 𝑦=ℎ при 𝑥=𝑎:
ℎ
=
𝑎
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑎
𝑎+𝑏
⎞
⎟
⎠
tg α₁
,
откуда tg α₁=ℎ(𝑎+𝑏)/𝑎𝑏 Уравнение искомой траектории получим, подставив найденное значение tg α₁ в формулу (3):
𝑦
=
𝑥
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑥
𝑎+𝑏
⎞
⎟
⎠
𝑎+𝑏
𝑎𝑏
ℎ
.
Отметим, что для ответа на поставленные в задаче вопросы это уравнение нам не требуется, но оно даёт возможность проследить, через какие точки мина летит к цели. Для нахождения соответствующей этой траектории начальной скорости нужно подставить полученное значение tg α₁ в уравнение (2):
𝑣₀²
min
=
𝑔𝑎𝑏
2ℎ
⎡
⎢
⎣
1
+
⎛
⎜
⎝
ℎ
𝑎+𝑏
𝑎𝑏
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
Итак, резюмируя изложенное, сформулируем ответ:
если
ℎ
≤
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
, то
α
=
π
4
,
𝑣₀²
=
𝑔(𝑎+𝑏)
;
если
ℎ
≥
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
, то
α
=
arctg
⎛
⎜
⎝
ℎ
𝑎+𝑏
𝑎𝑏
⎞
⎟
⎠
,
𝑣₀²
=
𝑔𝑎𝑏
2ℎ
⎡
⎢
⎣
1+
⎛
⎜
⎝
ℎ
𝑎+𝑏
𝑎𝑏
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
Полезно и в этой задаче рассмотреть предельные случаи. Не будем останавливаться на относительно малоинтересных случаях, как, например, 𝑎-𝑏 (стена посредине между миномётом и целью).
Бессмысленно полагать 𝑎=0 или 𝑏=0 при ℎ≠0, но, несомненно, представляет интерес случай, когда 𝑎 и 𝑏 одновременно стремятся к нулю (при ℎ≠0). В этом предельном случае требуется просто перебросить мину через стену, Ответ в этом случае очевиден: стрелять нужно вертикально вверх (α=π/2), а начальная скорость 𝑣₀=√2𝑔ℎ. Покажем, как получить этот результат из ответа к задаче. Здесь, конечно, нужно обращаться к случаю ℎ≥𝑎𝑏/(𝑎+𝑏). Полагая 𝑎=𝑏 и одновременно устремляя их к нулю, получим α→π/2 и
𝑣₀²
=
𝑔
2ℎ
⎡
⎢
⎣
𝑎𝑏
+
ℎ²
(𝑎+𝑏)²
𝑎𝑏
⎤
⎥
⎦
=
𝑔
2ℎ
(𝑎²+4ℎ²)
→
2𝑔ℎ
. ▲
7. Простреливаемая область.
Зенитное орудие может сообщить снаряду начальную скорость 𝑣₀ в любом направлении. Требуется найти зону поражения, т.е. границу, отделяющую цели, до которых снаряд из данного орудия может долететь, от недостижимых целей. Сопротивлением воздуха пренебречь.
△ Попробуем сначала выяснить, что можно сказать об этой границе, не решая задачи. Сам факт существования такой границы сомнений не вызывает, так что поставленный в задаче вопрос имеет смысл (кстати, начиная решать задачу, никогда не вредно подумать об этом). Попытаемся представить себе искомую границу. Очевидно, что она представляет собой некоторую поверхность. Если цель находится точно над орудием, то стрелять нужно вертикально вверх. Снаряд при этом поднимается на высоту ℎ=𝑣₀²/2𝑔 после чего начинает падать вниз, так что граница достижимых целей пересекает вертикаль в точке, находящейся на высоте ℎ.
Рис. 7.1. Граница простреливаемой области
Если ограничиться целями, находящимися на горизонтальной плоскости, то очевидно, что граница представляет собой окружность, радиус которой равен максимальной дальности полёта снаряда по горизонтали 𝑠=𝑣₀²/𝑔 (напомним, что максимальная дальность полёта по горизонтали достигается при угле возвышения ствола орудия α=π/4). Эта окружность есть пересечение искомой поверхности с горизонтальной плоскостью (рис. 7.1). Вообще из симметрии можно сделать вывод, что искомая поверхность представляет собой поверхность вращения некоторой кривой вокруг вертикали, проходящей через орудие, и задача сводится к нахождению этой кривой. Отметим, что кривая есть огибающая всех возможных траекторий (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Граница является огибающей для траекторий
Приступим к решению задачи. Выберем систему координат: орудие расположим в начале координат, ось 𝑥 направим горизонтально, ось 𝑦 - вертикально. Тогда зависимость координат снаряда от времени имеет вид
𝑥(𝑡)
=
𝑣₀
cos α⋅𝑡
,
𝑦(𝑡)
=
𝑣₀
sin α⋅𝑡
-
𝑔𝑡²
2
.
Исключив из этих уравнений 𝑡 получим уравнение траектории снаряда 𝑦=ƒ(𝑥):
𝑦
=
𝑥 tg α
-
𝑔𝑥²
2𝑣₀²
(1+tg²α)
.
(1)
Это уравнение параболы. Коэффициенты при 𝑥 и 𝑥² зависят от угла α, т.е. при разных направлениях начальной скорости получаются различные траектории. Таким образом, данное уравнение описывает семейство траекторий при одних и тех же по модулю, но различных по направлению начальных скоростях 𝑣₀.
Но этому же уравнению можно придать и другой смысл. Будем теперь рассматривать 𝑥 и 𝑦 как координаты определённой цели, в которую попадает снаряд, двигаясь по некоторой траектории. Тогда при заданных координатах цели 𝑥 и 𝑦 уравнение (1) определяет угол, под которым нужно выпустить снаряд с начальной скоростью 𝑣₀ для того, чтобы он попал в эту цель. Решая это квадратное относительно tg α уравнение, находим