tg α
=
1
𝑔𝑥
⎡
⎣
𝑣₀²
±
√
𝑣₀⁴-𝑔(𝑔𝑥²+2𝑣₀²𝑦)
⎤
⎦
.
(2)
Если уравнение имеет вещественное решение, т.е. дискриминант неотрицателен:
𝑣₀⁴-𝑔(𝑔𝑥²+2𝑣₀²𝑦)
≥
0,
(3)
то в цель попасть можно. Если вещественных решений нет, т.е.
𝑣₀⁴-𝑔(𝑔𝑥²+2𝑣₀²𝑦)
<
0,
то в цель попасть нельзя. Это значит, что цель находится за пределами искомой границы. Координаты цели, расположенной на границе, должны удовлетворять соотношению 𝑣₀⁴-𝑔(𝑔𝑥²+2𝑣₀²𝑦)=0. Выражая отсюда 𝑦 как функцию 𝑥, получаем уравнение границы в явном виде:
𝑦
=
𝑣₀²
2𝑔
-
𝑔𝑥²
2𝑣₀²
.
(4)
Это уравнение параболы с вершиной при 𝑥=0, 𝑦=𝑣₀²/2𝑔. Коэффициент при 𝑥² отрицателен, т.е. ветви параболы направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках 𝑥±𝑣₀²/𝑔. (рис.7.2). Итак, полученная граница действительно проходит через точки, которые вначале были нами установлены из элементарных соображений.
Мы нашли сечение граничной поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением этой параболы вокруг оси 𝑦.
В связи с приведённым решением сделаем ещё несколько замечаний. Рассмотрим какую-либо точку, находящуюся ближе границы (например, точку 𝐴 на рис. 7.2). Для такой точки подкоренное выражение в формуле (2) положительно, и, следовательно, через неё проходят две траектории (при заданном значении начальной скорости), соответствующие двум возможным значениям угла α.
В баллистике одна из этих траекторий называется настильной, а другая, касающаяся границы до попадания в цель, - навесной. Через каждую точку, принадлежащую границе, проходит лишь одна траектория. Отметим, что граница является огибающей для семейства траекторий при различных направлениях начальной скорости и фиксированном значении начальной скорости 𝑣₀
Приведём другой возможный путь решения этой задачи, связанный с ещё одной трактовкой уравнения (1). Рассмотрим цели, находящиеся на одной вертикали, отстоящей от орудия на расстояние 𝑥, и найдём на ней самую высокую точку, в которую ещё может попасть снаряд. Эта точка, очевидно, принадлежит границе. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума 𝑦, т.е. правой части уравнения (1), рассматриваемой как функция угла α. Правая часть есть квадратный трехчлен относительно tg α и имеет максимум при tg α=𝑣₀²/𝑔𝑥. Соответствующее максимуму значение 𝑦 получается подстановкой этого значения tg α в уравнение (1):
𝑦
=
𝑣₀²
2𝑔
-
𝑔𝑥²
2𝑣₀²
,
что совпадает с полученным ранее уравнением границы (4). ▲
8. Грязь от колёс.
Телега равномерно катится по горизонтальной мокрой дороге. На какую максимальную высоту поднимаются капли воды, срывающиеся с обода колеса?
△ Эта задача во многом подобна предыдущим. Самая существенная особенность заключается, пожалуй, в том, что для её решения нельзя поместить начало координат в исходную точку траектории капли, так как отрыв капель происходит в разных точках обода колеса. Совместим поэтому начало координат с центром колеса, т.е. будем рассматривать движение капель в системе отсчёта, связанной с телегой, движущейся равномерно и прямолинейно относительно земли. Очевидно, что максимальная высота подъёма капель по вертикали не зависит от того, рассматривать их движение в системе отсчёта, связанной с землёй, или в системе отсчёта, связанной с равномерно движущейся по горизонтали телегой. Если скорость телеги равна 𝑣₀ и колеса не пробуксовывают, то в выбранной системе отсчёта скорость любой точки обода также равна 𝑣₀. (Докажите последнее утверждение сами - это совсем просто.) Положение любой из точек, в которых происходит отрыв капли от обода, однозначно определяется углом φ (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Траектории капель в системе отсчёта, связанной с телегой
Текущие координаты капли, оторвавшейся от обода колеса в точке, характеризуемой углом φ, определяются соотношениями
𝑥(𝑡)
=-
𝑅 cos φ
+
𝑣₀
sin φ⋅𝑡
,
(1)
𝑦(𝑡)
=
𝑅 sin φ
+
𝑣₀
cos φ⋅𝑡
-
𝑔𝑡²
2
.
(2)
Для нахождения максимальной высоты подъёма капли 𝑦max нужно подставить в уравнение (2) время подъёма капли 𝑡₁, которое проще всего найти следующим образом. В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости 𝑣𝑦 обращается в нуль: 𝑣𝑦=𝑣₀ cos φ-𝑔𝑡₁=0, откуда
𝑡₁
=
𝑣₀
𝑔
cos φ
.
(3)
Тогда максимальная высота подъёма капли, оторвавшейся от обода в рассматриваемой точке,
𝑦
max
=-
𝑣₀²
2𝑔
sin²φ
+
𝑅 sin φ
+
𝑣₀²
2𝑔
.
(4)
(В этой формуле cos φ выражен через sin φ.)
Из (4) видно, что максимальная высота подъёма зависит от угла φ, т.е. от того, в какой точке произошёл отрыв капли. В какой же точке должна оторваться капля, чтобы подняться выше всех остальных? Выражение (4) для максимальной высоты подъёма представляет собой квадратный трехчлен относительно sin φ и принимает своё наибольшее значение
ℎ
max
=
𝑔𝑅²
2𝑣₀²
+
𝑣₀²
2𝑔
(5)
при sin φ=𝑔𝑅/𝑣₀². Конечно, этот результат имеет смысл, если 𝑔𝑅≤𝑣₀², т.е. если телега катится достаточно быстро. В противном случае, как нетрудно убедиться, ни одна из отрывающихся капель не поднимается выше верхней точки обода. Докажите это самостоятельно.
С помощью соотношения (1) легко увидеть, что найденная точка наивысшего подъёма лежит точно над осью колеса: подставляя (3) в (1) и учитывая, что sin φ=𝑔𝑅/𝑣₀² получаем 𝑥=0.
Ответ на поставленный в задаче вопрос - формула (5) для наибольшей высоты подъёма отрывающихся капель - -получен путём исследования на максимум квадратного трехчлена (4) относительно sin φ. Этот результат можно получить и иначе. Будем рассуждать следующим образом. Зафиксируем некоторое значение 𝑦max и решим уравнение (4) относительно sin φ:
sin φ
1,2
=
𝑔𝑅
𝑣₀²
±
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑔𝑅
𝑣₀²
⎞²
⎟
⎠
+1-
2𝑔𝑦max
𝑣₀²
⎤½
⎥
⎦
.
(6)
Здесь углы φ₁ и φ₂ определяют те точки обода, отрываясь от которых капли достигают заданной максимальной высоты. Если вещественных корней нет, то заданного значения 𝑦max не достигает ни одна капля. Если есть два различных вещественных корня φ₁ и φ₂, то заданная высота является максимальной для двух капель. Это отчётливо видно из рис. 9.4 задачи 9 про «мокрое» колесо. Наибольшей высоты из всех капель, как видно из того же рисунка, достигает только одна капля. Следовательно, эту наибольшую высоту ℎmax можно найти, потребовав, чтобы оба корня уравнения (6) сливались в один: приравнивая дискриминант нулю, получаем ответ - формулу (5).