Итак, получено исчерпывающее решение этой задачи. Как и предыдущие задачи, мы решили её, используя уравнения движения (1) и (2), которые дают зависимость координат движущегося тела от времени. Эти уравнения содержат всю информацию о движении тела. Но во многих случаях полная информация бывает не нужна. Например, в обсуждаемой задаче нас совершенно не интересуют временные зависимости - требуется найти лишь положение точки наивысшего подъёма капли, а момент времени, когда капля там оказывается, интереса не представляет. В подобных случаях часто оказывается удобным с самого начала исключить избыточную информацию, воспользовавшись законами сохранения. В рассматриваемой задаче можно сразу получить соотношение (4) для наибольшей высоты подъёма капель, если применить закон сохранения механической энергии. Полагая потенциальную энергию капли на уровне оси колеса равной нулю, для полной энергии капли в точке отрыва имеем
𝐸₁
=
𝑚𝑔
𝑅 sin φ
+
𝑚𝑣₀²
2
.
В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль. Поскольку горизонтальная составляющая скорости не меняется, энергия в высшей точке
𝐸₂
=
𝑚𝑔
𝑦
max
+
𝑚(𝑣₀ sin φ)²
2
.
Приравнивая 𝐸₁ и 𝐸₂, получаем формулу (4). Как видите, во многих задачах не вредно подумать о том, нельзя ли упростить решение, используя законы сохранения! ▲
9. Капли с вращающегося колеса.
«Мокрое» колесо равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси. С обода срываются капли. Найти границу «сухой» области.
Рис. 9.1. В отсутствие тяжести капли движутся прямолинейно
△ Движение оторвавшихся капель происходит под действием силы тяжести, которая всем каплям сообщает одинаковое ускорение 𝑔. Это позволяет сначала отвлечься от наличия тяготения. Рассмотрим движение капель, оторвавшихся от обода колеса в один и тот же момент. В отсутствие ускорения свободного падения капли движутся по прямым линиям. В любой момент времени 𝑡 все капли лежат на окружности радиуса 𝑟 (рис. 9.1), для которого с помощью теоремы Пифагора можно написать
𝑟²(𝑡)
=
𝑅²
+
(𝑣₀𝑡)²
,
(1)
где 𝑅 - радиус колеса, 𝑣₀ - скорость точек обода.
Радиус окружности 𝑟 увеличивается с течением времени, а при наличии тяготения вся эта окружность ещё и «падает» с ускорением свободного падения 𝑔. Если начало координат выбрано в центре колеса, то в любой момент времени 𝑡 ордината центра окружности равна -𝑔𝑡²/2. Уравнение «падающей» окружности в этой системе координат имеет вид
𝑥²
+
⎛
⎜
⎝
𝑦
+
𝑔𝑡²
2
⎞²
⎟
⎠
=
𝑟²(𝑡)
.
(2)
Рис. 9.2. Граница «мокрой» области как огибающая окружностей
Уравнение (2) есть уравнение целого семейства окружностей: придавая 𝑟 разные значения, получаем окружности, на которых находятся капли в различные моменты времени. Легко сообразить, что искомая граница есть огибающая этого семейства окружностей (рис. 9.2). Ясно, что высшая точка этой границы лежит точно над осью колеса. Другими словами, уравнение (2) определяет всю «мокрую» область (рис. 9.3), и для решения задачи нам нужно найти границу заштрихованной области.
Рис. 9.3. «Мокрая» область заштрихована
Будем искать эту границу следующим образом. Заметим, что капли, оторвавшиеся от колеса в один и тот же момент времени, достигают границы в разные моменты времени: граница касается разных окружностей. Проведя горизонтальную прямую на некотором уровне 𝑌, найдём на ней наиболее удалённую от оси 𝑦 «мокрую» точку, не задумываясь о том, какой окружности она принадлежит. Абсциссу 𝑋 точки пересечения любой окружности с этой прямой можно найти, подставив в уравнение окружности (2) ординату 𝑦=𝑌 и радиус 𝑟 из уравнения (1):
𝑋²
=
𝑅²
+
𝑣₀²𝑡²
-
⎛
⎜
⎝
𝑌
+
𝑔𝑡²
2
⎞²
⎟
⎠
.
(3)
Легко видеть, что правая часть (3) есть квадратный трехчлен относительно 𝑡²:
𝑋²
=-
𝑔²𝑡⁴
4
+
(𝑣₀²-𝑔𝑌)𝑟²
+
𝑅²
-
𝑌²
.
Его максимальное значение
𝑋²
=
𝑅²
+
𝑣₀⁴
𝑔²
-
2𝑣₀²
𝑔
𝑌
.
(4)
Разрешая (4) относительно 𝑌, получаем уравнение границы «сухой» области:
𝑌
=-
𝑔
2𝑣₀²
𝑋²
+
𝑔𝑅²
2𝑣₀²
+
𝑣₀²
2𝑔
.
(5)
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится на оси 𝑦 на высоте
𝑔𝑅²
2𝑣₀²
+
𝑣₀²
2𝑔
.
Рис. 9.4. Граница «мокрой» области как огибающая парабол - траекторий капель
Граница была найдена как огибающая семейства окружностей, на которых находились капли, оторвавшиеся в один и тот же момент времени. Между тем траектория каждой отдельной капли представляет собой параболу, и поэтому найденная граница (5) является огибающей этих парабол (рис. 9.4).
Интересно отметить, что задачи 7 и 8 являются частными случаями этой задачи. Действительно, в задаче 8 фактически требовалось найти лишь верхнюю точку границы «мокрой» области: при 𝑋=0
𝑌
=
ℎ
max
=
𝑔𝑅²
2𝑣₀²
+
𝑣₀²
2𝑔
.
Задача 7 получается из этой задачи, если устремить к нулю радиус колеса 𝑅 при неизменной скорости 𝑣₀. Уравнение границы достижимых целей получается из (5), если в последнем положить 𝑅=0:
𝑌
=-
𝑔
2𝑣₀²
𝑋²
+
𝑣₀²
2𝑔
.
Рис. 9.5. Граница «мокрой» области при медленном вращении колеса
При решении этой задачи мы молчаливо предполагали, что искомая граница проходит вне колеса. Как и в предыдущей задаче, легко убедиться, что это справедливо при условии 𝑣₀²>𝑔𝑅. В противном случае (𝑣₀²≤𝑔𝑅) граница «мокрой» области в своей верхней части проходит по ободу колеса (дуга окружности), а затем плавно переходит в ветви параболы (рис. 9.5). ▲
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Динамика изучает, как происходит движение тела при его взаимодействии с другими телами. Взаимодействие описывается на языке сил, действующих на тело. Основу динамики материальной точки составляют три закона Ньютона. Первый закон выделяет те системы отсчёта, в которых уравнения динамики имеют наиболее простой вид, - это так называемые инерциальные системы отсчёта. Второй закон Ньютона устанавливает связь между ускорением, с которым движется материальная точка в инерциальной системе отсчёта, и действующими на неё силами. Третий закон связывает между собой силы, с которыми тела действуют друг на друга.