D≤DT
В случае евклидовых множеств D=DT. Однако почти для всех множеств в этой книге D>DT. Такие множества необходимо было как-то называть, поэтому я придумал термин фрактал, определив его следующим образом:
< Фракталом называется множество, размерность Хаусдор- фа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.
< Любое множество с нецелым значением D является фракталом. Например, исходное канторово множество представляет собой фрактал, поскольку, как мы увидим в главе 8, его размерность
D=ln2/ln3≈0,6309>0, при DT=0.
Канторово множество в пространстве RE можно обобщить так, чтобы DT=0, a D принимала бы любые желаемые значения в промежутке от 0 до E (включительно).
< Фракталом является и исходная кривая Коха, поскольку, как будет показано в главе 6, ее размерность
D=ln4/ln3≈1,2618>1, при DT=1.
< Фрактал может иметь и целочисленную размерность. Например, в главе 25 показано, что траектория броуновского движения представляет собой фрактал, так как ее размерность
D=2, при DT=1.
< Тот поразительный факт, что размерность D не должна непременно быть целым числом, заслуживает некоторого терминологического отступления. Если понимать термин «дробь»1 в широком смысле, т.е. как синоним термина «нецелое вещественное число», то некоторые из вышеперечисленных значений размерности D являются дробными — размерность Хаусдорфа-Безиковича иногда даже называют дробной размерностью. Однако учитывая, что D может принимать и целые значения (меньшие, чем E, но строго большие, чем DT), я предпочитаю называть величину D фрактальной размерностью. ►
ФРАКТАЛЫ В ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
< Исследование фракталов частично затрагивает и геометрический аспект гармонического анализа, однако в настоящем труде этот факт не слишком подчеркивается. Большинству читателей гармонический анализ (иначе называемый спектральным или анализом Фурье) мало известен, а многие из тех, кто эффективно используют его на практике, мало знакомы с его фундаментальными структурами.
Кроме того, каждый из этих подходов — и фрактальный, и спектральный — имеет свои характерные особенности и свою прелесть, которые лучше постигать на своем собственном опыте. И наконец, на мой взгляд, по сравнению с гармоническим анализом фракталы просты и интуитивно понятны. ►
О «ПОНЯТИЯХ, КОТОРЫЕ ... НОВЫ, НО ... »
В свое время Лебег немало потешался над некоторыми «понятиями, которые, безусловно, новы, но абсолютно бесполезны». К размерности D эту характеристику никто не применял, однако ее использование было ограничено весьма узким кругом областей, причем все эти области относились к чистой математике. Я, пожалуй, был первым, кто успешно применил размерность D к описанию Природы. Одной из важнейших целей моей работы является закрепление за размерностью D центрального места в эмпирической науке и демонстрация таким образом того, что размерность эта обладает гораздо более широкой применимостью, чем кто-либо может себе представить.
В некоторых областях физики мое утверждение о важности размерности D было принято с исключительной готовностью. Более того, многие ученые, работающие в этих областях, сознавая неадекватность обычной размерности, уже пытались вести поиски в этом направлении, получая в результате всевозможные дробные, аномальные, либо непрерывные размерности. К сожалению, эти поиски никак не были связаны друг с другом. К тому же в некоторых случаях различные размерности определялись одинаково, ни одна из них не могла похвастать наличием математического теоретического обоснования, и ни одна не была должным образом разработана, так как из-за отсутствия математического обоснования эти размерности невозможно было отличить друг от друга. Для тех разработок, которые будут описаны ниже, существование математической теории жизненно необходимо.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ - ЭТО НЕ ТОЛЬКО ТОПОЛОГИЯ
Если вы спросите у математика, какая четко определенная область математики имеет дело с формами, он почти наверняка упомянет топологию. Топология, безусловно, имеет к нашим целям самое непосредственное отношение — мы даже упоминали о ней в предыдущей главе, — однако в настоящем эссе выдвигается и защищается утверждение, что довольно расплывчатое понятие формы содержит не только топологические, но и другие математические аспекты.