Не успели мы сойти на берег, как тут же попали в кино и с удовольствием посмотрели весёлый приключенческий фильм "Великолепная Восьмёрка". Правда, какое отношение к числовым отношениям имеет кино, мы поначалу не уловили, но оказалось, что самое непосредственное.
Кинолента состоит из крохотных кадров, а на экране те же кадры мы видим увеличенными во много-много раз. Но самое главное здесь в том, что числовое отношение всех размеров изображения остаётся при этом точно таким же, как и на плёнке.
На плёнке изображён дом. Высота его, допустим, 8 миллиметров, ширина 4. На экране же высота этого дома стала 80 сантиметров, а ширина - 40. Дом вырос в 100 раз. Но отношение его высоты к ширине ничуть от этого не изменилось. Все размеры его соответственно пропорциональны размерам на плёнке. Стало быть, на экране мы видим точное подобие того, что есть на киноленте. Вот почему изображения, все размеры которых соответственно пропорциональны, называются подобными.
Мы, разумеется, тут же предположили, что раз существуют изображения подобные, значит, должны быть какие-то бесподобные.
- Выдумщики! - засмеялся капитан.
Он сказал, что бесподобных изображений в математике нет, зато есть не подобные, и повёл нас... в комнату смеха.
Да, да. На Острове Отношений тоже есть комната смеха. Как в нашем парке культуры и отдыха. Здесь, как водится, понаставлены всякие зеркала. В одном ты - кубышка, поперёк себя толще, в другом - длиннющая жердь.
Я очень люблю смотреться в такие зеркала и каждый раз хохочу до упаду. Только прежде я смеялся просто так, а сегодня понял, что меня смешит. Я смеюсь оттого, что вместо подобной себе фигуры вижу не подобную, не пропорциональную, то есть такую фигуру, где привычное соотношение всех частей тела изменено, нарушено.
Но для чего всё-таки нужны все эти подобия и неподобия, пропорциональности и непропорциональности? Зачем их изучают? Да затем, что без правильных пропорций не создашь ничего путного.
Когда архитектор строит дом, он заботится не только о его прочности и удобстве, но и о том, чтобы на него приятно было смотреть. А приятно смотреть на такое здание, где всё соразмерно, где найдены правильные, красивые пропорции. Конечно, найти их нелегко. Для этого надо быть не только хорошим строителем, но и художником, то есть обладать чувством прекрасного.
Капитан сказал, что чувство это было в высшей степени свойственно древним грекам. Недаром же созданные ими статуи до сих пор остаются недосягаемым образцом в искусстве, точно так же как древнегреческие здания - в архитектуре. И происходит это потому, что греки нашли совершенные, идеальные соотношения между частями человеческого тела. Точно так же умели они находить правильные соотношения между частями зданий. Потому-то найденные ими пропорции называют классическими...
- А почему сейчас архитекторы не строят таких классических зданий? спросил я.
- Да потому, - сказал капитан, - что всё хорошо в своё время. Мы можем любоваться древнегреческими строениями, но повторять их сейчас было бы глупо. То, что прекрасно, должно быть ещё и удобно Ведь древние греки жили совсем не так, как мы. У них были иные потребности. Им не нужны были, например, высотные здания, да они и не сумели бы их построить. Кроме того, напрасно ты думаешь, что в наше время классические пропорции забыты. Они используются и в современных зданиях, хотя и не всегда. Потому что рядом со старыми возникают новые соотношения, новые пропорции... Всё на свете меняется. В том числе и понятие прекрасного.
- Нет, - заявил я, - кое-что всё-таки остаётся неизменным. Это отношения чисел. Ведь шесть, делённое на два, всегда равно трём!
ИГРА ИЛИ НАУКА?
5 нуляля
Мы с коком гуляли по палубе и смотрели, как Фрегат пробирается среди бесчисленных островов, стараясь их не задеть. Посреди каждого острова на высоком шесте развевался флаг. А на флагах были написаны разные цифры. Только написаны они были как-то странно: одна цифра под другой, а между ними - чёрточка:
, , , , ...
Капитан сказал, что так математики записывают дробные числа. Оказывается, числа бывают не только целые. Стоит целое число раздробить на части - и получаются дроби.
Кок сказал, что он-то хорошо знает, как дробить на части. На судне не осталось ни одной целой чашки.
Капитан объяснил нам, что дроби, которые меньше единицы, называются правильными. На флагах этих островов написаны только правильные дроби. Число над чёрточкой называется числителем дроби, число под чёрточкой знаменателем дроби. Знаменатель показывает, на сколько частей разделён числитель. Например, дробь показывает, что от единицы взята третья часть. И читается эта дробь так: одна треть.
У правильной дроби числитель всегда меньше знаменателя, а у неправильной - больше.
Значит, есть дроби, которые больше единицы? Да, есть. Если разделить пять на два, получится неправильная дробь - пять вторых. А это всё равно что два с половиной, и записывается так: Вот и выходит, что неправильная дробь больше единицы.
- А теперь, - сказал капитан, - посмотрите направо. Перед вами Залив Десятичных Дробей.
Да, оказывается, есть и такие дроби. Это те, у которых знаменатель всегда либо десять, либо сто, либо тысяча... Словом, число, которое делится на десять без остатка.
Коку это очень понравилось, и он заявил, что теперь будет бить чашки только на десятичные осколки.
- А записывать это буду так, - добавил он,
, ,
Верно?
- И верно, и неверно, - ответил капитан. - Десятичные дроби принято записывать иначе, в строчку. Если число больше единицы, целую часть его отделяют от дробной запятой. А если число меньше единицы, то перед запятой ставят нуль.
- А где же пишут знаменатель? - спросил я.
- Знаменателя совсем не пишут, - ответил капитан, - его подразумевают. Дело в том, что у десятичных дробей, как и у целых чисел, есть разряды. Первый знак после запятой справа указывает, сколько десятых долей в числе, второй - сколько сотых, третий - сколько тысячных, и так далее. Вот, например, 0,2 читается так: две десятых. А 0,02 - две сотых...
Под конец капитан попросил нас прочитать такое число: 0,023.
Я ответил, что это очень легко: нуль целых, нуль десятых, две сотых и три тысячных. Капитан страшно удивился:
- Зачем же читать по складам, когда можно сразу: двадцать три тысячных. Если после запятой число состоит из трёх цифр, значит, подразумевается, что это число надо разделить на тысячу. Вот и всё. А теперь идите-ка чистить картошку.
Мы с коком уселись на корме и принялись за дело. Трудиться здесь приходится вовсю.
Неожиданно похолодало, пошёл снег. Он лез в глаза, мешал работать, и я решил подождать, пока он кончится.
Вдруг - тррррррах! Гром. Один удар, другой, третий... Сверкают молнии. А снег всё идёт. Снег и гроза? Невероятно!!
- А что значит невероятно? - спросил кок.
- Невероятно, - пояснил я, - это когда совсем невозможно.
- Как же невозможно, когда гремит? - засмеялся Пи.
- Это просто случайно. А вообще не бывает.
Тут появился капитан и сказал, что я неправ. Всё, что может произойти даже случайно, - всё вероятно. Только иной раз приходится этого очень долго ждать. Тогда говорят, что для такого случая вероятность мала.
- Значит, вероятность можно измерить? - удивился я.
- Конечно. На то и появилась математическая наука - теория вероятностей. Кстати, острова, мимо которых мы идём, принадлежат архипелагу Вероятностей.