F=G·(m1-m2)/d²
где G — гравитационная постоянная, равная 6,67·10-11 Н·м²/кг².
Вместо взаимодействия двух масс представим себе единое тело, которое ни с чем не взаимодействует. В этом случае, хотя оно и не действует непосредственно ни на какое другое тело, предполагается, что вокруг него создается некое поле, так, что как только другое тело приблизится к этому полю, то сразу же попадет под его влияние. Это гравитационное поле можно изобразить в виде линий, направленных в центр притяжения, то есть к телу (рис. 1).
РИС. 1
РИС. 2
Значение гравитационного поля можно рассчитать по следующей формуле:
g=G·m1/d² [1]
По этому уравнению мы видим, какое влияние будет оказано на любую массу m2, которая находится на некотором расстоянии от первого тела. Для этого надо будет просто вычислить F=m2g.
Изучив уравнение гравитационного поля, мы увидим, что при увеличении расстояния от центра массы, создающей это поле, уменьшается его интенсивность. Уменьшение силы тяготения в зависимости от высоты можно изобразить в виде графика (рис. 2).
Если в формулу [1] мы подставим массу Земли, а в качестве расстояния возьмем средний радиус Земли:
— масса Земли: М3 = 5,9736·1024 кг;
— радиус Земли: d = 6371 км = 6,371·106 м; то получим следующий результат:
g=G·M2/d2 = 6,67·10-11 Η·м2/кг2·(5,9736·1024 кг)/(6,371-106)2 м2 =9,81 м/с2.
Таким образом, на уровне моря все тела имеют одинаковое ускорение (9,81 м/с2).
С помощью этой же формулы можно вычислить интенсивность гравитационного поля на вершине горы или показать, как уменьшается его значение в зависимости от высоты. Эти расчеты можно произвести и применительно к Луне:
— масса Луны: Мл = 7,349·1022 кг;
— радиус Луны: 1,738 106 м;
g=G·Мл/d2 = 6,67·10-11 Η·м2/кг2·7,349·1022 кг/(1,738- 106)2м2 =1,62 м/с2.
Так мы можем получить значение ускорения на Земле и на Луне. Зная радиус и массу любой планеты или спутника, можно вычислить ускорение свободного падения. Чем крупнее и плотнее планета, тем больше будет значение, определяющее ускорение, с которым будут падать на ней тела. Гравитационное поле также определяет, какую скорость должно развить тело, чтобы освободиться от его влияния и удалиться от планеты или спутника.
По законам кинематики положение и скорость тел при свободном падении вычисляются исходя из их массы. Рассчитывая скорость тела во время свободного падения при помощи понятий кинетической энергии (Ec, связанной со скоростью) и потенциальной энергии (Ep, связанной с весом), можно еще раз убедиться, что эта скорость зависит не от массы тела, а только от высоты, на которой оно находится:
Ec = ½mv2
Ep = m·g·h.
Когда мы держим шар на определенной высоте от поверхности, он обладает потенциальной энергией, которая при его падении переходит в кинетическую. Таким образом, для того чтобы узнать, какова будет скорость тела в момент, когда оно коснется земли (то есть когда вся его потенциальная энергия перейдет в кинетическую), нужно использовать формулу:
m·g·h = ½mv2
В результате скорость будет равна:
v = SQRT(2·g·h)
Итак, мы видим, что конечная скорость, с которой двигается тело, не зависит от его массы.
Если нам надо рассчитать скорость убегания, то есть скорость, которую должна развить ракета или любое другое тело для того, чтобы преодолеть силу притяжения планеты, можно воспользоваться следующим уравнением. Вначале запишем, чему равна потенциальная энергия гравитации:
En = G(Mз·m)/d
Mз обозначает массу Земли, но в это уравнение можно подставить массу любой другой планеты или спутника. Кинетическая энергия равна:
Ek = ½mv2
Скорость ракеты должна быть достаточной для того, чтобы ее кинетическая энергия стала равной или большей потенциальной энергии планеты:
½mv2 = G(Mз·m)/d
Следовательно, скорость убегания равна:
v = SQRT((2·G·Mз)/d)
Мы снова видим, что эта скорость не зависит от массы тела и всегда одинакова (хотя, если тело будет более тяжелым, ему потребуется больше энергии, чтобы развить такую скорость).