Представьте, например, писателя, старающегося передать некие идеи, представленные набором образов у него в голове. Он не уверен, как эти образы ухитряются гармонично сочетаться в его воображении, и начинает экспериментировать, выражая вещи по-разному, пока не остановится на окончательном варианте. Знает ли он, почему выбрал именно этот вариант? Только приблизительно. Большая часть источников его решения, подобно айсбергу, находится глубоко под водой, невидимая глазу, — и он об этом знает. Или представьте себе программу-композитора. Ранее мы уже это обсуждали, спрашивая, когда можно будет назвать эту программу композитором, а не простым инструментом человеческого сочинителя. Возможно, что мы сможем согласиться с ее самостоятельностью, когда в программе появится самосознание, основанное на взаимодействии символов, и она достигнет равновесия между само-пониманием и само-непониманием. Неважно, если система действует по детерминистским законам, мы говорим, что она делает выбор, когда можем идентифицировать себя с описанием процессов, происходящих на высшем уровне работающей программы.
На низшем уровне, уровне машинного языка, эта программа будет выглядеть точно так же, как любая другая, только на высшем, «блочном» уровне могут возникнуть такие качества, как «воля», «интуиция» и «творческие способности».
Идея в том, что именно «водоворот» само-символа порождает запутанность и «Гедельность» мышления Меня иногда спрашивают:«Автореферентность — очень интересная и забавная штука, но действительно ли вы считаете, что в этом есть что-то серьезное?» Безусловно. Я думаю, что именно это окажется в сердце Искусственного Интеллекта и в фокусе всех усилий направленных на понимание того, как работает человеческий разум. Именно поэтому Гедель так органично вплетен в ткань моей книги.
Рис. 142. М. К. Эшер. Картинная галерея (литография, 1956).
Поразительно красивая и в то же время странно тревожащая иллюстрация «глаза» циклона, порожденного Запутанной Иерархией, дана нам Эшером в его «Картинной галерее» (рис. 142). На этой литографии изображена картинная галерея где стоит молодой человек, глядя на картину корабля в гавани небольшого городка, может быть, мальтийского, судя по архитектуре, с его башенками, куполами и плоскими каменными крышами, на одной из которых сидит на солнце мальчишка, а двумя этажами ниже какая-то женщина — может быть, мать этого мальчишки — глядит из окна квартиры, расположенной прямо над картинной галереей, где стоит молодой человек, глядя на картину корабля в гавани небольшого городка, может быть, мальтийского — Но что это!? Мы вернулись к тому же уровню, с которого начинали, хотя логически этого никак не могло случиться. Давайте нарисуем диаграмму того, что мы видим на этой картине (рис 143).
Рис. 143. Абстрактная диаграмма «Картинной галереи» М. К. Эшера.
На этой диаграмме показаны три вида включения. Галерея физически включена в город («включение»); город художественно включен в картину («изображение»); картина мысленно включена в человека («представление»). Хотя эта диаграмма может показаться точной, на самом деле она произвольна, поскольку произвольно количество показанных на ней уровней. Ниже представлен другой вариант верхней половины диаграммы (рис. 144):
Рис. 144. Сокращенная версия предыдущей диаграммы.
Мы убрали уровень «города»; хотя концептуально он полезен, без него можно вполне обойтись. Рис. 144 выглядит так же, как диаграмма «Рисующих рук»: это двухступенчатая Странная Петля. Разделительные знаки произвольны, хотя и кажутся нам естественными. Это видно яснее из еще более сокращенной диаграммы «Картинной галереи»:
Рис. 145. Дальнейшее сокращение рис. 143.
Парадокс картины выражен здесь в крайней форме. Но если картина «включена в саму себя», то молодой человек тоже включен сам в себя? На этот вопрос отвечает рис. 146.
Рис. 146. Другой способ сокращения рис. 143.
Здесь мы видим молодого человека «внутри самого себя», в том смысле, какой получается от соединения трех аспектов «внутренности». Эта диаграмма напоминает нам о парадоксе Эпименида с его одноступенчатой автореференцией, в то время как двухступенчатая диаграмма похожа на пару утверждений, каждое из которых ссылается на другое. Затянуть Петлю туже не удается, но можно ее ослабить, вводя любое количество промежуточных уровней, таких как «рама картины», «аркада» и «здание». Сделав так, мы получим многоступенчатые Странные Петли, диаграммы которых изоморфны «Водопаду» (рис. 5) или «Спуску и подъему» (рис. 6) Количество ступеней определяется нашим чувством того, что «естественно», что может варьироваться в зависимости от контекста, цели, или нашего настроения. В конечном итоге, восприятие уровней — это вопрос интуиции и художественного вкуса.
Оказываются ли зрители, глядящие на «Картинную галерею,» затянутыми «в самих себя»? На самом деле, этого не происходит. Нам удается избежать этого водоворота благодаря тому, что мы находимся вне системы. Глядя на картину, мы видим то, что незаметно молодому человеку, — например, подпись Эшера «МСЕ» в центральном «слепом пятне». Хотя это пятно кажется дефектом, скорее всего, дефект заключается в наших ожиданиях, поскольку Эшер не мог бы закончить этот фрагмент картины без того, чтобы не вступить в противоречие с правилами, по которым он ее создавал. Центр водоворота остается — и должен оставаться — неполным. Эшер мог бы сделать его сколь угодно малым, но избавиться от него совсем он не мог. Таким образом мы, глядя снаружи, видим, что «Картинная галерея» неполна, чего молодой человек на картине заметить не в состоянии. Здесь Эшер дал художественную метафору Теоремы Геделя о неполноте. Поэтому Эшер и Гёдель так тесно переплетены в моей книге.
Глядя на диаграммы Странных Петель, мы не можем не вспомнить о Естественно Растущем Каноне из «Музыкального приношения». Его диаграмма состояла бы из шести ступеней, как показано на рис. 147. К сожалению, когда канон возвращается к до, он оказывается на октаву выше, чем в начале.
Рис. 147. Схема гексагональной модуляции Баховского Естественно Растущего Канона выглядит как настоящая Странная Петля, если использовать тональную систему Шепарда.
Однако возможно сделать так, что Канон вернется точно к началу, если использовать так называемую тональную систему Шепарда, названную в честь ее автора, психолога Роджера Шепарда. Принцип тонов Шепарда показан на рис. 148. Он заключается в том что параллельные гаммы играются в нескольких различных октавах. Каждая нота имеет собственную независимую интенсивность, по мере того, как мелодия становится выше эта интенсивность меняется. Таким образом вы добиваетесь того что высшая октава постепенно переходит в низшую. Как раз в тот момент, когда вы ожидаете оказаться на октаву выше, интенсивности изменились так, что вы оказываетесь в точности там же, где начали. Так можно «бесконечно подниматься», никогда не оказываясь выше! Можете попробовать сыграть это на пианино. Еще лучше получается, когда тона точно воспроизводятся с помощью компьютера. При этом достигается удивительно полная иллюзия.
Это замечательное музыкальное открытие позволяет сыграть Естественно Растущий Канон так что, «поднявшись» на октаву, он сливается сам с собой. Эта идея, принадлежащая мне и Скотту Киму, была приведена в исполнение с помощью компьютерной музыкальной системы и результат был записан на магнитофон. Получившийся эффект едва различим, но вполне реален. Интересно то, что сам Бах, по-видимому, в некотором роде осознавал возможность подобных гамм, поскольку в его музыке можно найти пассажи разрабатывающие приблизительно такую же идею — например в середине «Фантазии из органной „Фантазии и фуги в соль миноре“».
Ханс Теодор Давид своей книге «„Музыкальное приношение“ И. С. Баха» (Hans Theodore David «J.S. Bach's „Musical Offering“») пишет: