73. Георг Кантор.
74. М. К. Эшер «Сверху и снизу».
75. «Разветвление» ТТЧ.
76. М. К. Эшер «Дракон».
77. Рене Магритт «Тени».
78. Рене Магритт «Грация».
79. Вирус табачной мозаики.
80. Рене Магритт «Прекрасный пленник».
81. Самопоглощающие экраны телевизора.
82. Рене Магритт «Воздух и песня».
83. Эпименид приводящий в исполнение собственный смертный приговор.
84. Айсберг парадокса Эпименида.
85. Квайново предложение в виде куска мыла.
86. Самовоспроизводящаяся песня.
87. Типогенетический Код.
88. Третичная структура типоэнзима.
89. Таблица «прикрепительных вкусов» типоэнзимов.
90. Центральная Догма типогенетики.
91. Четыре основания, составляющих ДНК.
92. Лестничная структура ДНК.
93. Молекулярная модель двойной спирали ДНК.
94. Генетический Код.
95. Вторичная и третичная структуры миоглобина.
96. Кусок мРНК, проходящий сквозь рибосому.
97. Полирибосома.
98. Двухтретичный молекулярный канон.
99. Центральная схема.
100. Код Гёделя.
101. Бактериальный вирус Т4.
102. Заражение бактерии вирусом.
103. Морфогенетический путь вируса Т4.
104. М. К. Эшер. «Кастровалва».
105. Шриниваса Рамануян и одна из его странных индийских мелодий.
106. Изоморфизмы между натуральными числами, калькуляторами и человеческими мозгами.
107. Нейронная и символическая деятельность мозга.
108. «Выделение» высшего уровня мозга.
109. Конфликт между высокими и низкими уровнями мозга.
110. Начальная сцена Диалога с ШРДЛУ.
111. Еще один момент Диалога с ШРДЛУ.
112. Последняя сцена Диалога с ШРДЛУ.
113. Алан Матисон Тюринг.
114. Доказательство «Ослиного мостика».
115. Бесконечное дерево целей Зенона.
116. Осмысленный рассказ на арабском языке.
117. Рене Магритт. «Мысленная арифметика».
118. Процедурное представление «красного куба, на котором стоит пирамида».
119. Задача Бонгарда #51.
120. Задача Бонгарда #47.
121. Задача Бонгарда #91.
122. Задача Бонгарда #49.
123. Небольшой фрагмент сети понятий для задач Бонгарда.
124. Задача Бонгарда #33.
125. Задачи Бонгарда #85-87.
126. Задача Бонгарда #55.
127. Задача Боигарда #22.
128. Задача Бонгарда #58.
129. Задача Бонгарда #61.
130. Задача Бонгарда #70-71.
131. Схематическая диаграмма Диалога «Крабий канон».
132. Две гомологичные хромосомы, соединенные в центре центомерой.
133. «Канон Ленивца» из «Музыкального приношения» И. С. Баха.
134. Авторский треугольник.
135. М К. Эшер. «Рисующие руки».
136. Абстрактная схема «Рисующих рук» Эшера.
137. Рене Магритт. «Здравый смысл».
138. Рене Магритт. «Две тайны».
139. «Дымовой сигнал». Рисунок автора.
140. «Сон о трубке». Рисунок автора.
141. Рене Магритт. «Человеческое состояние I».
142. М. К. Эшер. «Картинная галерея».
143. Абстрактная схема «Картинной галереи» Эшера.
144. Сокращенный вариант предыдущей схемы.
145. Еще более сокращенный вариант рис. 143.
146. Еще один способ сократить рис. 143.
147. Баховский «Естественно растущий канон», играемый в тональной системе Шепарда, образует Странную Петлю.
148. Два полных цикла тональной гаммы Шепарда, в записи для фортепиано.
149. М. К. Эшер. «Вербум».
150. Чарлз Баббадж.
151. Крабья Тема.
152. Последняя страница «Шестиголосного ричеркара» из оригинала «Музыкального приношения» И. С. Баха.
Благодарность
Эта книга зрела у меня в голове около двадцати лет — с тех пор, как в тринадцать лет я задумался над тем, как я думаю по-английски и по-французски. Даже раньше по некоторым признакам уже можно было понять, в какой области лежат мои основные интересы. Помню, что когда я был совсем ребенком, для меня не было ничего интереснее, чем идея трех 3: операция, проводимая над тройкой с помощью ее самой! Я был убежден, что это тонкое наблюдение не могло прийти в голову никому другому; но однажды я все же осмелился спросить мать, что из этого получится, и она ответила: «Девять». Однако я не был уверен, что она поняла, что я имел в виду. Позже мой отец посвятил меня в тайны квадратных корней и мнимой единицы.
Я обязан моим родителям больше, чем любому другому. Они были для меня столпами, на которые я мог опереться в любое время. Они направляли, вдохновляли, поощряли и поддерживали меня. Более того, родители всегда в меня верили. Им посвящена эта книга.
Особая благодарность двум моим старым друзьям — Роберту Бёнингеру и Питеру Джонсу; они помогли сформировать мое мышление. Их влиянием и идеями проникнута вся книга.
Я многим обязан Чарльзу Бреннеру, научившему меня программированию, когда мы оба были молоды; благодарю его за постоянное подталкивание и стимулирование, которое на самом деле равнялось завуалированной похвале — а также за иногда случавшуюся критику.
Рад отдать должное Эрнесту Нагелю, моему многолетнему другу и учителю, оказавшему на меня огромное влияние. «Доказательство теоремы Гёделя» Нагеля и Ньюмана — одна из моих любимых книг, и я многое вынес из наших бесед много лет назад в Вермонте и не так давно в Нью-Йорке.
Ховард Делонг своей книгой пробудил давно дремавший во мне интерес к темам этой книги. Я поистине многим ему обязан.
Давид Джонатан Джастман научил меня, что значит быть Черепахой — изобретательным, настойчивым и ироничным существом, любительницей парадоксов и противоречий. Надеюсь, что он прочтет эту книгу, которой я ему во многом обязан, и что она его развлечет.
Скотт Ким оказал на меня огромное влияние. С тех пор как мы с ним встретились около двух с половиной лет тому назад, между нами всегда был невероятный резонанс. Его идеи о музыке и изобразительном искусстве, его юмор и аналогии, его добровольная бескорыстная помощь в критические минуты внесли значительный вклад в книгу; кроме того, Скотту я обязан новой перспективой, благодаря чему мой взгляд на стоявшую передо мной задачу менялся по мере того, как книга продвигалась вперед. Если кто-то и понимает эту книгу, то это Скотт.
За крупномасштабными и мелкомасштабными советами я неоднократно обращался к Дону Бирду, знающему эту книгу вдоль и поперек. Он безошибочно чувствует ее структуру и цель и много раз подавал мне отличные идеи, которые я с удовольствием включал в книгу. Я сожалею только о том, что уже не смогу включить будущие идеи Дона, когда книга выйдет из печати. И не дайте мне забыть поблагодарить Дона за чудесную гибкость-в-негибкости его нотной программы СМУТ. Многих длинных дней и трудных ночей стоило ему уговорить СМУТ исполнить необходимые причудливые трюки. Некоторые из его результатов включены в иллюстрации книги; однако его влияние, к моему вящему удовольствию, распространено в ней повсюду.
Я не смог бы написать эту книгу без помощи технического оборудования Института математических исследований в общественных науках Стэнфордского университета. Пат Суппс, директор Института и мой давний друг, был очень великодушен, поселив меня в Вентура Холле, дав мне допуск к превосходной компьютерной программе и обеспечив мне великолепную рабочую обстановку в течение двух лет.
Это приводит меня к Пентти Канерва, автору программы-редактора, которой эта книга обязана своим существованием. Я многим говорил, что написание этой книги отняло бы у меня вдвое больше времени, если бы не «TV-Edit», удобная и настолько простая по духу программа, что только Пентти мог написать подобное. Благодаря ему я сумел сделать то, что удается мало кому из авторов, — сверстать свою собственную книгу. Пентти был главной двигающей силой исследований по компьютерной верстке в упомянутом выше Институте. Очень важным для меня было также редкое качество Пентти — его чувство стиля. Если эта книга выглядит хорошо, это во многом заслуга Пентти Канерва.
Эта книга родилась в типографии Стэнфордского университета. Мне хотелось бы высказать сердечную благодарность директору типографии, Беверли Хендрикс, и ее сотрудникам за помощь в минуты особой нужды и за их ровное хорошее настроение несмотря на многие неудачи. Я хотел бы также поблагодарить Сесиль Тэйлор и Барбару Ладдага, проделавших большую часть печатания гранок.
За многие годы моя сестра Лаура Хофштадтер во многом способствовала формированию моих взглядов. Ее влияние присутствует как в форме, так и в содержании этой книги.