В своей работе "Об объеме многогранников" он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Самое же при этом удивительное, пожалуй, то, что сделать ее своими руками не представляет решительно никакого труда: надо лишь взять полоску бумаги и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на 180 градусов. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента, Мёбиуса. Чтобы наглядно убедиться, что у вашей самоделки действительно всего одна сторона, попробуйте закрасить перекрученную ленту в два цвета — одним с внешней, а другим — с внутренней стороны. Что бы вы ни придумывали, вам это не удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на гравюре Маурица Эсхера "Лента Мёбиуса. II".
Итак, односторонность. В геометрическом, разумеется, понимании этого слова, потому что в нашем общечеловеческом смысле трудно представить себе более разностороннюю геометрическую фигуру. Теперь, когда вы познакомились с ней, наверное, уже никакая сила не Удержит вас от того, чтобы не клеить все новые и новые ленты, закручивая их то на один, то на два, а то и на три полуоборота, и потом беспощадно разрезать вдоль. И вы будете вознаграждены за свою любознательность — полоска бумаги повторит все фокусы, показанные в Цирке.
Да что цирк! Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мёбиуса — в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же односторонняя поверхность. В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу — триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу "с двух сторон". Ему выдали патент № 1442632. Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое. (Речь идет, разумеется, о так называемой "непрерывной ленте", то есть замкнутой в кольцо, вроде автоматических телефонных часов или милицейских лозунгов о безопасности движения, передаваемых через репродукторы, патрульных машин.) В 1969 года советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мёбиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной. Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).
Идея использовать ленту Мёбиуса не оставляла изобретателей и в последующие годы. В 1971 году П. Н. Чесноков из Уральского политехнического института имени С. М. Кирова получил авторское свидетельство на фильтр непрерывного действия для жидкости, "отличающийся тем, что, с целью интенсификации процесса фильтрования и увеличения срока службы фильтрующего материала, лента выполнена в виде Мёбиуса листа". Год спустя И. В. Киселев стал официально автором устройства, про которое в авторском свидетельстве сказано: "Бесконечный шлифовальный ремень, выполненный на гибкой основе с нанесенным на нее абразивным покрытием и склеенный в кольцо с повернутой ветвью, отличающийся тем, что, с целью увеличения стойкости, он имеет в сечении форму многогранника с равными гранями, покрытыми абразивным слоем, а ветвь его повернута на одну грань". Институт электродинамики Академии наук Украинской ССР представил изобретение своих сотрудников Ю. И. Драбовича и И. А. Криштафовича. Оно сформулировано так: "Магнитный сердечник, изготовленный из ферромагнитной ленты с изоляционным покрытием, отличающийся тем, что, с целью улучшения магнитных свойств сердечника путем создания равномерного магнитного поля по его сечению, сердечник намотан в форме ленты Мёбиуса".
Наконец, не были забыты и дети, для которых И. Е. Бурлак изобрел и получил на то в 1979 году соответствующее свидетельство, в котором в тех же строгих правилах заявки описана "игрушечная электрифицированная железная дорога, содержащая полотно железной дороги, модели локомотива и вагонов с поворотными осями колес, отличающаяся тем, что, с целью повышения занимательности, полотно железной дороги представляет собой ленту Мёбиуса, рельсы выполнены из ферромагнитного материала, а модели локомотива и вагонов снабжены магнитными башмаками, закрепленными на поворотных осях колес".