Пусть вектор а имеет началом точку А1(х1; у1), а концом точку А2(х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1.
Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и BL, b2 называется вектор с с координатами a1 + BL, a2 + b2.
Разностью векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называется такой вектор с (с1; с2), который в сумме с вектором b даёт вектор а, т. е. b + с = а. Отсюда находим координаты вектора с = а – b: с1 = а1 – BL: с2 = а2 – b2.
Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.
Произведением вектора а (a1; a2) на число k называется вектор с координатами (kа1; kа2).
Два вектора а и b называются коллинеарными (параллельными), если существует такое число k ? 0, что вектор а есть kb.
Разложить вектор а по векторам b и с – значит найти такие числа n, m, что а = nb + mc.
Скалярным произведением векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называют число a1BL + a2b2.
Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называют координатными векторами или ортами.
Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X1, Y1 фигуры F1, то X1Y1 = k ? ХУ, причём число k – одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = 1 преобразование подобия, очевидно, является движением.
Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F отрезок ОХ и отложим на нём отрезок ОХ1 равный k ? ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в точку X1 построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F1 называют гомотетичными.
На рис. 53 ?АВС и ?A1В1С1 – гомотетичны.
Рис. 53.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 54).
?АОВ (угол ?) – центральный.
Рис. 54.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис. 55).
Рис. 55.
?АСВ (угол ?) – вписанный.
Геометрическую фигуру будем называть простой, если её можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником.
Дадим определение площади для простых фигур.
Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.
3. Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице.
2.2. Вопросы для самопроверки
1. Как принято обозначать точки и прямые на чертеже или в тексте? (1)
2. Что такое отрезок? Нарисуйте произвольный отрезок и отметьте его концы. Как принято обозначать отрезок? (1)
3. Что такое полуплоскость? (1)
4. Что такое луч? Как принято обозначать луч? (1)
5. Какие лучи называются дополнительными? (1)
6. Что такое угол? Как принято обозначать угол? Нарисуйте произвольный угол и укажите его вершину и стороны. (1)
7. Какой угол называется развёрнутым? (1)
8. Как Вы понимаете фразу: «Луч проходит между сторонами данного угла»? (1)
9. В чём измеряют углы? Каковы градусная и радианная мера развёрнутого угла? (1)
10. Какие углы называют смежными? Чему равна сумма смежных углов? (1)