Карьера молодого Гильберта пошла в гору, когда, к удивлению коллег, он решил насущную алгебраическую проблему, казавшуюся непреодолимой. Однако через некоторое время он оставил алгебру и переключился на основания геометрии, взяв на вооружение аксиоматический метод. В его работе этот метод имел решающее значение. Гильберт больше, чем кто-либо, научил математиков мыслить аксиоматически и определил новый метод как самый надежный в математической вселенной.
На лекции, прочитанной им на Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года (в тот день стояла удушающая жара), он продемонстрировал научному сообществу свою проницательность, и его стали воспринимать как человека, за которым — будущее математики. Логика необходима этой науке, но именно проблемы обеспечивают ее жизнедеятельность. Круг из 23 проблем, сформулированных Гильбертом, определил равное количество вызовов, которые мотивировали ведущих математиков последующие 100 лет. В итоге математика стала развиваться во многих направлениях. Некоторые из этих проблем были решены однозначно (как, например, в случае континуум-гипотезы), в то время как другие (скажем, гипотеза Римана) все еще ждут своей очереди.
Гильберт — легендарная личность и для физики тоже. Уравнения общей теории относительности — результат его творческой гениальности в не меньшей степени, чем гениальности Эйнштейна. Квантовая механика, в свою очередь, тесно связана с математической структурой, гильбертовым пространством. Кроме того, новый век стал свидетелем того, как немецкий математик очерчивает (не в полной мере осознавая это) новую область математического анализа — функциональный анализ.
Однако самая обширная тема — это основания математики. Парадоксы логики и теории множеств, а также плеяда открытых вопросов о надежности классической математики спровоцировали глубокий раскол в научном сообществе и все нараставшие споры об основаниях этой дисциплины. К 1920 году, находясь на пике карьеры, наш герой ринулся создавать амбициозную программу основания, причем ему пришлось помериться силами с некоторыми виднейшими европейскими математиками. Как архитектор, исследующий фундамент старого дворца, который вот-вот рухнет, Гильберт пересмотрел основания математики, пытаясь устранить ее трещины и обеспечить ей устойчивость на долгие века. Он хотел стереть уродливое пятно парадоксов с идеального здания математики. На это его воодушевляла слепая вера в то, что можно доказать: математика, снабженная подходящими аксиомами, не содержит никаких противоречий, она устойчива. Это одна из главных проблем математики, которую Гильберт озвучил на лекции 1900 года.
Изучая его вклад, мы вновь переживем это эпическое и страстное приключение в поисках точности, где сошлись великие логики и математики конца XIX — начала XX века: Фреге, Рассел, Кантор, Пуанкаре, Брауэр и Гёдель. Вдохновленные богатством современной им математики, эти ученые задумались о ее природе и целях. В ту пору выделились три тенденции. Логицизм, проявившийся у Фреге и оживленный Расселом, утверждал, что все математические принципы могут быть сведены к логическим законам. Интуиционизм — порождение Пуанкаре и Брауэра — отрицал методы классической математики, которые привели ее к парадоксам. И наконец, формализм, отождествляемый с мыслью Гильберта, стремился полностью аксиоматизировать математику, доказав, что аксиомы никогда не ведут к противоречию.
Гильберт был лидером школы формализма, по сути он отстаивал позицию, что математические рассуждения могут быть представлены аксиоматически, в рамках формальной системы и без какого-либо упоминания о значении символов. Эта ключевая идея позволяла уклониться от любого упоминания о скользкой и парадоксальной бесконечности. Гильберт считал, что все математические теоремы можно вывести на основе одного или более правил посредством символического управления ограниченным числом аксиом, причем за конечное число шагов. Тогда можно было рассматривать математику как игру формул, а проблему доказательства непротиворечивости аксиом — как вопрос конечной сочетаемости, тщательного анализа формул, которые могут быть доказаны в рамках формальной системы, последовательностей символов, производимых системой. Но упорные попытки Гильберта решить этот вопрос, заложить основы математики, не вызывающие никакого рационального сомнения, закончились поражением.
Об австрийском логике Курте Гёделе заговорили, когда в 1931 году он объявил: чтобы доказать непротиворечивость математики, методов Гильберта недостаточно. Теоремы Гёделя о неполноте стали ушатом холодной воды для самого Гильберта и его последователей. Более того, они означали крах его программы. Оказалось, что непротиворечивую устойчивость математики невозможно доказать. Непоколебимая убежденность в том, что математика — самая надежная из наук, вылилась для многих в историческое коллективное разочарование. Математика несет в себе черты неуверенности, случайности и необоснованности, но тем не менее продолжает прогрессировать.