Через три года сестра вышла замуж и у неё родилась дочь. В то время Нила Федоровича уже не было в живых и сестра всегда обращалась к Георгию Несторовичу. В 1904 году девочка тяжело заболела. Положение было серьёзным. Георгий Несторович был у нас днем. Вечером мы все сидели в столовой, окна которой выходили на улицу. И вдруг в половине десятого звонок. Мы никого не ждали. Входит Георгий Несторович, улыбается и говорит: «Иду мимо, вижу в столовой огонёк, наверно, пьют чай и мне не откажут дать стаканчик». Сидим, говорим о посторонних вещах, а он, как бы между прочим, спрашивает про температуру. Я как раз носила девочку на руках, она вся горела. Он стал прощаться и, как бы невзначай, высказал пожелание посмотреть девочку, после чего дал некоторые указания и ушёл. Девочка вскоре поправилась и впоследствии выяснилось, что история «зашел на огонек выпить стакан чаю» была только очень сильным беспокойством за состояние ребенка и нежелание тревожить родителей.
Таких случаев я могла бы описать очень много, но ограничусь только ещё одним в семье моей двоюродной сестры. В 1906 году, в июле, у неё родился сын, а в августе она заболела брюшным тифом и вынуждена была перевести ребёнка на искусственное питание. В ноябре они жили в своем имении во Владимирской области, где у мальчика развилась тяжелая форма желудочного заболевания. Местные врачи растерялись. Тогда моя тётя, жившая в Москве, попросила Георгия Несторовича поехать с ней к больному внуку. Сперанский согласился и нашёл состояние ребёнка очень тяжелым. Он настоял на том, чтобы отвести ребенка в Москву. До железнодорожной станции было 30 минут езды. Все поехали. В первых санях ехала бабушка с Георгием Несторовичем, в возке ехал отец с больным ребенком, в других санях ехала мать (она не могла ездить в возке). Через каждые 10 минут Георгий Несторович останавливал наш поезд и проверял состояние больного. Таким образом мы довезли мальчика до станции, а затем и до Москвы. Ребенок был спасен, и теперь это здоровый, красивый мужчина 57 лет, работающий на производстве. Георгий Несторович до последних лет никогда не отказывал в помощи всем тяжело заболевшим детям…
Потом я встретилась с Георгием Несторовичем в 1905 году в Александро-Мариинском институте, где я училась и куда я поступила работать в качестве классной дамы. Георгий Несторович был врачом в этом институте. Сколько внимания и заботы он проявлял к девочкам, как его все любили за его чуткое, внимательное отношение к ученицам…».
В 1904 году, скопив необходимую сумму денег, Сперанский во время летних каникул впервые отправился за границу. Он побывал в Берлине, где слушал лекции известного немецкого педиатра профессора Хойбнера (Heubner), а также в детских клиниках Вены и Будапешта. В 1907 году известный акушер А. Н. Рахманов предложил деду постоянное место врача консультанта по детским болезням в родильном доме имени А. А. Абрикосовой, который он возглавлял (после революции – родильный дом им. Н. К. Крупской). Несколько позже этот родильный дом был преобразован в акушерскую клинику Высших женских курсов. При этом учреждении Сперанский организовал первую в Москве консультацию для новорожденных и детей раннего возраста. Она располагалась на Лесной улице в доме № 11. Но его больше всего интересовали дети раннего возраста. В те годы в детские больницы не принимали на лечение пациентов в возрасте до года из-за высокой смертности среди них. На свою просьбу открыть в Хлудовской детской больнице отделение для больных детей раннего возраста Георгий Несторович получил отказ от университетского начальства. Поэтому он был вынужден уйти из этой больницы и 2 ноября 1910 года на благотворительные средства открыл на Малой Дмитровке в доме Катковой (дом № 27) в наемном помещении, приспособленном для этой цели, небольшую лечебницу для больных детей от рождения до двух лет. Это был первый в России стационар для таких пациентов.