"Сумма", написанная бывшим "ересиархом" Саккони и значительно дополненная Ансельмом Александрийским, предоставляет нам очень точный отчёт о катарских церквях в северной Италии около середины XIII cтолетия. В основных чертах картина не изменилась со времени создания трактата "De heresi Catharorum". На первом плане находились три церкви, с самого начала сосредоточенные в сельских общинах: Конкореццо около Милана, Десенцано на озере Гарда и Баньоло около Мантуи. У этих церквей были узнаваемые названия, образованные от имён их лидеров. Они содержатся уже в сочинении Сальво Бурци (1235), а также в антиеретическом законе Фридриха II, опубликованном в Кремоне и других городах северной Италии в 1238 году. "Гаратенцы" получили свое название от Гараттуса, епископа Конкореццо, а "калояни" от Калояна, епископа Баньоло. Название "альбаненцы", применявшееся в то время к членам церкви Десенцано, так же, вероятно, было образовано от личного имени. В то время, когда Саккони писал свою "Сумму", первые две церкви были уже широко известны под названиями, образованными от их географического положения: "конкорецценцы" и "баньоленцы", но для третьей всё ещё применялось старое название "альбаненцы".
Саккони знал епископа Конкореццо Назария, даже в старости остававшегося преданным учениям, полученным "за морем" в юности. Но в начале XIII столетия анонимный автор истории катаров в Ломбардии уже отмечал разногласия в церкви Конкореццо по вопросам о Богородице и о человеческом естестве Христа. Если верить Ансельму Александрийскому, позднее эти важные вопросы раскололи церковь Конкореццо надвое. Одни остались верны традиционному учению, проповедовавшемуся епископом Назарием, тогда как другие последовали за Дезидерием. Последний, filius maior церкви Конкореццо, не признавал болгарской Тайной Книги и не верил в таинственные истории о происхождении и природе небесных тел, разработанные Назарием на основе Interrogatio Iohannis. Дезидерий верил, что мать Христа была реальной женщиной, и учил, что при рождении Христос облёкся реальным человеческим телом, в котором пострадал и воскрес из мёртвых. Во время Своего вознесения он оставил это тело в "земном раю" (in paradiso terrestri), где вечно, никогда не умирая, пребывает Его мать. В последний раз Сын Божий облачится в Своё человеческое тело в день Суда. Согласно Дезидерию, Христос, пребывая на земле, обладал не только реальным человеческим телом, но и настоящей человеческой душой, а не "божеством вместо души" (deitatem pro anima), как учил Назарий.