9. Таким образом, мы выдвигаем фундаментальную категорию математического анализа — категорию бесконечно–малого — в надежде достигнуть если не окончательной ясности в проблеме логического понимания мышления, то по крайней мере более совершенного понимания, чем это мы находим в традиционной системе логики. Бесконечно–малое ценно для нас именно тем, что в нем с достаточной глубиной совмещается идея бесконечного и непрерывного процесса с точными конечными элементами и формулами. Бесконечно–малое в математике определяется как такая величина, которая может стать меньше любой заданной величины. Тут важно именно это «может стать». Этим отрезывается раз и навсегда атомистическое понимание бесконечно–малого. Это не какое–то мельчайшее тельце, которое обладает хотя и наименьшим, но все же раз и навсегда установленными и неподвижными размерами. Вся суть заключается тут как раз в обратном: эти маленькие размеры берутся в процессе своего постоянного изменения, так что всякое такое бесконечно–малое, никогда не будучи в состоянии стать нулем, все же вечно к нему стремится, отличаясь от него на какую угодно малую величину. Бесконечно–малое никогда не имеет своего последнего значения, ибо, с какой малостью мы бы его ни брали, оно в то же самое мгновение становится еще меньше. Оно, таким образом, ни в каком случае не есть просто наименьшее. Поэтому в сущности даже совершенно не важно, что оно вообще принимает какие–нибудь значения или проходит через какие–нибудь точки. Никаких неподвижных значений и никаких точек нельзя себе и представить в бесконечно–малом, поскольку оно есть сплошной и непрерывный процесс уменьшения, а не что–нибудь имеющее определенные, хотя бы и наименьшие размеры (конечно, математический анализ учит и о прерывных функциях, но они рассматриваются здесь тоже в контексте общего учения о непрерывности).
Но если такое чистое становление наука гак прекрасно умеет изображать в одной сфере мышления, именно в числовой, то почему же нужно запрещать находить такое же становление и в другой сфере мышления, в понятийной, и в мышлении вообще? Не будет ли такой запрет уже чрезвычайно большой ретроградностью в логике и не будет ли это реакционным узаконением той непозволительной и прямо–таки неимоверной отсталости логики от науки, которую мы сейчас имеем, вопреки основам марксизма–ленинизма, вопреки всему естествознанию?
Поэтому в дальнейшем мы попробуем дать кратчайший и совершенно элементарный очерк инфинитезимального понимания логического мышления, не только без всяких претензий на полноту и исключительность, но и с сознанием, что работу эту мы только еще предлагаем, что уже первое прикосновение к этому других работников, несомненно, даст и новые и более совершенные результаты, углубление которых должно быть постоянным и идущим вперед, как и сама математическая наука.
Находясь на такой позиции, попробуем наметить инфини–тезимальный подход к логическому мышлению в следующем виде.
2. ВЕЩb — АРГУМЕНТ И ОТРАЖЕНИЕ—ФУНКЦИЯ
Материализм может исходить только из подвижной материи как из чего–то независимого. И все, что есть помимо материи, есть, очевидно, только ее отражение, ее функция.
Уже один этот первый—и простейший — шаг по пути понимания мышления с точки зрения математического анализа имеет огромное значение. Сказать, что мышление есть функция материи, — это значит иметь большое достижение. Многим, особенно воспитанным на утонченном буржуазном логицизме, весьма претит наш «грубый» термин «отражение». Нас обвиняют за него в метафизике, в грубом онтологизме, в игнорировании чисто логической проблематики и т. д. Термин «функция» в этом отношении совершенно незаменим. Он берет из «отражения» как раз то, что нам надо. А тем не менее он совершенно обезоруживает всякого буржуазного гносеолога. Что можно против него сказать, если на нем построен целый ряд точных наук огромной важности? Кроме того, эта категория яснее и проще подвергается научному анализу. Если об отражении еще можно спрашивать, что оно такое, то в реальной значимости «функции» уже никто сомневаться не имеет никакого права; и речь может идти только о том, как это понятие проще определить.
Таково это первое—и, на наш взгляд, огромное—достижение математического метода в логике—это понимание мышления как функции от материальных вещей.
Обозначим материальную вещь через χ, понимая ее как то независимое переменное, от изменений которого будет зависеть все прочее. Этот χ принципиально неисчерпаем и бесконечен (вспомним ленинский стакан в знаменитой речи о профсоюзах). Этому χ соответствует адекватное существенное отражение, такое же неисчерпаемое и такое же бесконечное, как и сам х. Это существенное отражение, очевидно, является определенной функцией от аргумента х. Назовем ее у. Ясно, что человеческое знание, вообще говоря, есть некоторое отношение между этими χ и у. От изменения этого отношения между вещью и ее отражением зависит и степень, равно как и качество человеческого мышления и знания об этой вещи.