Взятый в известных границах, результат этого определения тоже внутри себя непрерывно наплывает. Он–то и есть дифференциал.
Синий как видоразличие для какого–нибудь понятия (напр., для «карандаша», «обоев», «костюма», «цветка»), если это видоразличие понимать как дифференциал, предполагает: 1) сплошное изменение данного понятия (всех этих «карандашей», «обоев» и пр.), т.е. «приращение функции»; 2) определенное направление этого изменения, т. е. «производную», или «цвет вообще»; 3) бесконечный перелив и непрерывное становление величин, подпадающих под это направление, «приближенные значения пределопроизводной», или весь непрерывный цветовой спектр, и, наконец, 4) вырезку, выемку, отрезок, область, запруду, конечное протяжение некоторой области из этого становления, определяемого производной — цветом, т.е. синеву определенного и конкретного типа (ибо синих цветов, если принять во внимание все их оттенки, тоже целая бесконечность).
Так модифицируется формально–логическое видоразличие понятия на инфинитезимальную категорию дифференциала. Дифференциал—это и есть, вообще говоря, видоразличие понятия, но — в условиях сплошной текучести — и родового понятия, и основания его деления, и самого видоразличия.
7. Замечательным примером глубочайшей логической значимости инфинитезимальных категорий является рассмотрение того, что в математическом анализе называется разницей между дифференциалом функции и ее приращением. Это математически весьма элементарный шаг, который в учебниках анализа делается обычно тут же, в первых параграфах о дифференциале. Математически он очень элементарен, но логически он очень глубок и замечательно поучителен вообще для построения логики и в частности для проверки ее построений при помощи построений математических.
Как рассуждают тут математики? Когда мы взяли Ах, произвольное приращение аргумента, то это, конечно, сейчас же отразилось и на функции, для которой мы тоже получаем некое приращение, в Зависимости от того, какая это функция. Спрашивается: что же такое дифференциал этой функции в сравнении с этим ее приращением? Есть ли это то же самое или нет, и если не тоже, то чем же именно отличается дифференциал функции от соответствующего нарастания функции? Математики тут рассуждают так.
Представим дело аналитически. Будем рассуждать как обычно. Беря функцию от χ, т.е. ƒ(x), приращение аргумента Ах и соответствующее приращение функции, т.е. ƒ(х+Δх)— ƒ(х), пишем обычное выражение производной:
Возьмем разницу между производной и этим стремящимся к ней как к пределу отношением приращений функции и аргумента.
Что такое эта разность ε? Это бесконечно–малая величина, которая переводит нас от приближенного значения к пределу. Это есть самый переход к пределу. Освобождая предыдущее выражение от знаменателя, получаем:
Но левая часть этого равенства есть не что иное, как приращение функции Ау, а первое слагаемое правой части есть не что иное, как дифференциал dy этой функции. Следовательно,
т.е. приращение функции и дифференциал функции отличаются друг от друга на бесконечно–малое высшего порядка, чем Δх.
В чем тут дело, если подойти к вопросу чисто логически? Что это за таинственная величина ε Δ χ, которой только и отличается дифференциал от общего приращения? Вопрос этот также не ставился в логической литературе. Однако мы можем предложить его простейшее и яснейшее решение.
Мы уже знаем, что такое ε. Это самый переход от переменной величины, стремящейся к пределу, к самому пределу. Мы знаем также, что значит умножить. Выражаясь не математически, а образно–обывательски, это значит воспроизвести множимое методом множителя, воспроизвести одно, так сказать, в атмосфере другого, найти нечто общее между одним и другим. Такие выражения, когда они вызваны чувством (хотя и очень смутным) логической природы предмета, часто бывают для логики гораздо более ценными, чем точнейшие, но логически не осознанные и наглядно не освоенные математические формулы. Если Δх есть произвольное приращение независимого переменного, т.е. известная материальная перемена, то ε Ах есть, очевидно, некое новое понимание перехода к пределу, а именно тот предельный переход, который по качеству своему есть некое определенное материальное изменение.