Если расширить и углубить это представление об интеграле, то мы и перейдем к определенному интегралу в собственном смысле слова, т. е. к интегралу как к пределу суммы, к интегралу как к площади.
6. Гораздо больше интереса представляет для нас другое определение интеграла — как предела суммы. Это т. н. определенный интеграл, т. е. интеграл, в котором определены и верхний, и нижний пределы и который поэтому есть функция своих обоих пределов. Посмотрим, что он дает для логики.
Определенный интеграл зародился в результате попыток определения площадей и объемов таких, которые ввиду своей сложности не поддавались методам элементарной арифметики и геометрии. Если мы имеем прямоугольник, то площадь его вычислить очень просто. Это — найти произведение основания прямоугольника на его высоту. Но если, напр., одну из сторон прямоугольника заменить кривой, то для определения площади такой фигуры метод умножения основания на высоту уже не годится. Здесь издавна, ёще с древнеегипетских времен, пытались свести такую фигуру на ряд таких прямоугольников, площадь которых уже не так трудно вычислить, и потом суммировали все такие прямоугольники. В наиболее совершенной форме этот метод проводится в интегральном исчислении.
Здесь берут такой «прямоугольник», верхняя сторона которого есть кривая линия и основание которого мыслится на оси х–ов, и разбивают его на прямоугольники путем перпендикуляров, восстанавливаемых к оси х–ов по мере движения х. Если мы будем количество таких прямоугольников беспредельно увеличивать и тем самым площадь каждого из них беспредельно уменьшать, т. е. если χ будет меняться непрерывно, то в определенных пределах изменения χ мы получим все увеличивающееся количество прямоугольников, которые в сумме будут стремиться к некоему пределу, что и есть площадь нашего «прямоугольника», или, как говорят, криволинейной трапеции. Геометрически, таким образом, интеграл есть площадь прямоугольника как предел суммы бесконечно возрастающего числа бесконечно умаляющихся элементарных прямоугольников, т. е. прямоугольников, возникающих при непрерывном возрастании X.
Это другое определение интеграла имеет очень важный логический смысл, если применить его к определению понятия.
Что могло бы значить понятие как предел суммы? Что это за предел и какая это сумма, чего, собственно, это сумма? Раз мы заговорили о сумме, значит, предполагаются слагаемые, части. Что же это за «части» в понятии? Конечно, это его виды, видовые понятия. Но тут не может быть перехода от родового понятия к видовому понятию, что мы находим в производной, которая ведь и есть метод получения частных понятий из общего. Тут не переход от рода к виду, но составление рода из видов. Переход здесь к виду делается только для того, чтобы полнее и расчлененнее представить самый род. Итак, родовое понятие, понятие как общее, есть сумма видовых понятий. Но это еще не интеграл.
Интеграл есть предел суммы. В таком случае, что же такое понятие как предел суммы его видов? О пределе мы имеем право говорить только тогда, когда имеется некая переменная величина, которая в результате своего увеличения или уменьшения может отличаться от другой, постоянной величины сколь угодно мало. В таком случае эта постоянная величина и есть предел данной переменной величины. Следовательно, для того, чтобы родовое понятие стало пределом для своих видов, необходимо, чтобы они, бесконечно мало отличаясь друг от друга, в сумме бесконечно мало отличались от этого родового понятия и в конце концов все расплывались бы в нем, образуя действительно целое и уже неделимое понятие.
Но если так, то роль предела здесь, очевидно, вполне аналогична пределу в случае с производной. Производная есть предел — как закон возникновения частного из общего, как принцип становления видов из родового понятия. Интеграл же как предел тоже есть некий закон и принцип, но только закон и принцип становления не видов из рода, а родового понятия из видовых. Понятие как интеграл есть закон становления родовой общности из видовых понятий, принцип возникновения рода из видов. И как при получении производной мы понимали дифференцирование не просто в качестве расчленения и различения, но в качестве непрерывного расчленения и различения и сама производная была только законом этого непрерывного становления родовой общности в виде бесконечного ряда видовых понятий, так и теперь под интегрированием мы понимаем не просто слияние видов в одну родовую общность, но слияние это мы понимаем здесь как происходящее в результате непрерывного перехода из одного вида к другому, непрерывного их сближения и сам интеграл и есть закон непрерывного становления суммирующихся видовых понятий в одно сплошное и неделимое родовое понятие.