Так он узнал высоту пирамиды и доказал египтянам свою мудрость. (Легенда не упоминает об одной детали, о которой Фалес, несомненно, знал: задача может быть решена в том случае, когда вершина тени пирамиды окажется примерно на перпендикуляре, восстановленном к середине основания.)
«Что же тут мудрого! — скажете вы. — Ясно, что в тот момент, когда тень Фалеса была равна его росту, тень пирамиды плюс половина основания равнялись ее высоте».
Для вас, знающих геометрию, задача Фалеса кажется совсем легкой, но не забудьте, что дело происходило 2500 лет назад, задолго до знаменитого греческого математика Эвклида, создавшего геометрию.
Высота дерева
Узнать высоту предмета с помощью собственной тени можно только в солнечный день. С древних времен геометрия создала много других способов измерения высоты предметов.
Расскажу о некоторых из них.
Во время Великой Отечественной войны командиру отдельного саперного батальона было приказано срочно построить мост через речку. Он вызвал к себе сержанта и приказал ему узнать высоту деревьев в ближайшем лесу.
Сержант воткнул шест длиной около 2,5 метра на некотором расстоянии от измеряемого дерева, надрезал на шесте черточку на высоте глаза, затем отошел от шеста и стал в такой точке, чтобы конец шеста закрывал собой макушку дерева.
Как видно из рисунка, получились два подобных прямоугольных треугольника, и можно написать такую пропорцию:
Первые три величины (расстояние до шеста, расстояние от черты на шесте до его верхушки, расстояние до дерева) сержант измерил рулеткой, а по ним узнал четвертую, прибавил к ней высоту своего глаза над землей — и получил высоту измеряемого дерева.
Вот еще один очень несложный способ.
У вас есть линейка с миллиметровыми делениями. Это и будет ваш высотомер.
Станьте где-нибудь в стороне от дерева, вытяните руку и держите линейку вертикально.
Ноль линейки направьте на самый низ дерева и одновременно посмотрите, какая цифра на линейке совместится с его макушкой.
Опять получились подобные, но не прямоугольные, а равнобедренные треугольники, из которых можно составить такую пропорцию:
Вы знаете, что первый размер равен 0,6 метра, отсчет по линейке вы уже взяли, расстояние от глаза до дерева вы измерите[13]. По этим трем величинам вы узнаете четвертую — высоту дерева.
Наконец, можно измерить высоту дерева с помощью крестовины вашего эккера. Возьмите ее в руки вертикально и станьте в такой точке, чтобы один створ булавок — № 1 и № 3 — был направлен на черту на дереве, замеченную на высоте вашего глаза, а другой створ булавок — № 1 и № 2 — под углом 45° на макушку дерева.
Как видите, у вас получился равнобедренный прямоугольный треугольник, и, следовательно, высота дерева равна расстоянию от вас до дерева плюс ваш рост до глаз.
Во всех описанных случаях предполагается, что и дерево и наблюдатель находятся на одной горизонтальной плоскости.
Самодельные эклиметры
Предположим, нужно быстро узнать высоту холма, на котором стоит колхозный скотный двор, по отношению к уровню воды в реке, так как предполагается строить водокачку.
Высоту холма можно измерить с помощью довольно простого самодельного прибора, называемого эклиметром.
Сделайте его так. Возьмите прямоугольный кусок фанеры размером 20 X 30 сантиметров, наклейте на него лист бумаги и у края длинной стороны прочертите прямую линию, на которой отметьте три точки А, В и С так, чтобы расстояние АВ было равно расстоянию ВС. Циркулем-измерителем восстановите из точки В перпендикуляр ВD, затем с помощью того же циркуля из точки В проведите дугу окружности радиусом ВD, на которой от точки D тем же радиусом отмерьте точки Е и F. Очевидно, каждый из углов ЕВD и DВЕ равен 60° (как углы равносторонних треугольников — два радиуса и хорда, равная радиусу).
13
Тут будет некоторая ошибка, которой, однако, можно пренебречь. Фактически вы измеряете расстояние до дерева не от вашего глаза, а от ваших ног.