- Спокойствие, мсье! Только спокойствие! - призывает черт, не двигаясь с места. - Сейчас все будет в полном порядке. Недаром Хромой бес лучший телевизионный мастер на свете! Уж во всяком случае не хуже, чем Карлсон, который живет на крыше.
Он издали дует на телевизор, и тот снова оживает. Да, но куда же делись "Знатоки"? На экране титры совсем другой передачи!
- "Клуб знаменитых математиков", - читает Фило. - В первый раз слышу. Насколько я помню, в программе нет ничего подобного.
- В вашей программе, может, и нет, мсье. Зато в моей...
Мате понимающе вздергивает брови. Все ясно! Очередной адский фокус. Однако бранить беса он и не думает: передача-то как-никак математическая! Интересно, с чего она начнется? Наверное, как водится, со вступительной песенки...
Так и есть! Звучит хорошо известная мелодия "Клуба знаменитых капитанов", к которой немного погодя присоединяется хор мужских голосов. Только поют они все же какие-то другие слова:
Добрый вечер, мэтры!
Встречи пробил час.
Что нам километры?
Что веков запас?
Вновь камин заветный
Нас к себе манит...
Все мы геометры,
Каждый знаменит!
Но вот хор умолкает, и на экране появляется какая-то комната. Вглядевшись в нее, филоматики взволнованно ахают: это же комната Паскаля на улице Сен-Мишель! Конечно, вот и знакомый диванчик. По-прежнему пылает огонь в очаге. Но теперь перед ним уже не два, а великое множество людей. И как только все они здесь уместились!
Поначалу друзья различают в толпе только Ферма и Паскаля. Лица остальных теряются в красочной сумятице одежд самых разных времен и национальностей (заметьте: черно-белое изображение телевизора Мате непонятным образом превратилось в цветное). Но потом Фило вдруг узнает Омара Хайяма75, а Мате - Фибоначчи76, и только вмешательство Асмодея не дает им влезть в экран с головой.
Как раз в это время слово берет Ферма. Он объявляет очередное заседание Клуба знаменитых математиков открытым и предлагает избрать председателя на сегодняшний вечер.
-Так как тема нынешнего заседания - "Арифметический треугольник", говорит Паскаль, - предлагаю избрать мэтра Пифагора.
Раздаются бурные рукоплескания, и с места поднимается смуглолицый грек в белом струящемся облачении.
- Благодарю высокое собрание за честь! - произносит он, с достоинством наклонив курчавобородую голову. - Хотя совершенно очевидно, что причина ее - не столько моя причастность к теме заседания, сколько уважение к древности. Потому что арифметическим треугольником я никогда не занимался.
- Зато ты занимался фигурными числами, которые в него входят, возражает Хайям.
Пифагор протестующе поднимает руку.
- Не преувеличивай моих заслуг, о Хайям! Фигурные числа - не мое открытие. Много путешествуя, я, конечно, многое и запамятовал. Но фигурные числа я, помнится, вывез из Вавилона заодно с другими математическими редкостями.
- А все-таки узнали мы о них не от вавилонян, а от тебя и от твоего последователя Никомаха, - упорствует Хайям.
- Ну, если так, - Пифагор делает приглашающий жест, - тогда позволь предоставить слово тебе. Недаром ходят слухи, что Омар Хайям тоже имеет некоторое отношение к арифметическому треугольнику.
- Разве? - усмехается тот. - Другие всегда знают о нас больше, чем мы сами. Во всяком случае, если в моей жизни и было что-нибудь подобное, то сам я об этом начисто забыл. Зато наверняка помню, что арифметический треугольник был известен в Древней Индии и в Древнем Китае. А потому предоставь лучше слово мэтру Тарталье. Надеюсь, он-то свою причастность к арифметическому треугольнику отрицать не станет.
- Ни-ни-ни в коем случае, - подает голос высокий итальянец с глубокими шрамами на подбородке, одетый по моде шестнадцатого столетия. - Хотя числа в этом треугольнике я ра-ра-расположил так, что правильнее было бы называть его прямоугольником.
- Какое, однако, удивительное совпадение! - не выдерживает Фило. "Тарталья" - по-итальянски "заика", а этот уважаемый мэтр и впрямь заикается.
- Ничего удивительного, - поясняет Асмодей. - Прозвище Тартальи сей даровитый синьор получил как раз за свое заикание, которое началось у него после сильного ранения в нижнюю челюсть.
- А настоящая его фамилия как? - продолжает приставать любопытный Фило.
Но Асмодей лишь досадливо пожимает плечами. Не всегда ж ему знать то, чего не знает никто! И вообще, дадут ему наконец смотреть передачу?
- Однако, до-до-дорогие мэтры, - продолжает Тарталья, - хочу обратить ваше внимание на то, что арифметические треугольники возникали в разные времена и в разных странах совершенно самостоятельно. Свой я, во-во-во всяком случае, придумал сам.
- И я тоже, достопочтенный мэтр Тарталья, - присоединяется Паскаль, потому что ваши изыскания были мне, к сожалению, неизвестны.
- Вы забыли сказать главное, уважаемый мэтр Паскаль - вмешивается представительный горбоносый красавец с густыми бархатными бровями и легкой любезной улыбкой в уголках рта.
- Насколько я понял, мэтр Лейбниц, вы просите слова, - строго намекает Пифагор. - Рад его вам предоставить.
Тот, извиняясь, склоняет набок голову в крутокудром каштановом парике. Достопочтенному председателю незачем затрудняться! Он, Лейбниц, хотел лишь заметить, что заслуга мэтра Паскаля не столько в том, что он открыл арифметический треугольник, сколько в том, что ему удалось вывести формулу сочетаний. Ту самую формулу, с помощью которой легко вычислить любой элемент числового треугольника.
- Прошу прощения! - живо перебивает Паскаль. - Одновременно со мной ту же формулу вывел мэтр Пьер Ферма.
- Не отрицаю! - весело басит Ферма. - И все-таки честь ознакомить собравшихся с некоторыми свойствами формулы сочетаний я предоставляю вам.
Паскаль молча кланяется и, подойдя к стоящей у камина грифельной доске, выписывает на ней две таблицы.
- Как видите, - поясняет он, - арифметический треугольник изображен здесь в двух видах: в числовом и условном, где каждый член его выражен через число сочетаний из номера строки по номеру своего места в ней. Разумеется, верхней строке и первому числу каждой строки присвоен нулевой номер. Далее обратите внимание на то, что все сочетания, у которых верхний индекс нуль, равны единице. Почему это так, понять нетрудно. Стоит только сравнить обе таблицы. Выберем, допустим, шестую строку (ее порядковый номер 5) и рассмотрим два ее числа, хотя бы 5 и 5. Одно из них в условном треугольнике обозначено как , второе - как . Но ведь числа эти равны между собой, ибо каждое из них порознь равно 5: == 5. В свою очередь можно записать как . И если это обобщить для любой строки (n) и любого порядкового числа в ней (m), то получится любопытное свойство сочетаний: (це из эн по эм равно це из эн по эн минус эм). Отсюда ясно, что так как с одной стороны = 1, а с другой , то и выходит, что . Ну, а дальше уж, для общности правила, условились и С() тоже считать единицей. Вот вам простой и удобный способ отыскивать любое, даже самое большое число сочетаний. И потому вопрос, чему равно, скажем, число сочетаний из тысячи по девятисот девяноста девяти, не должен пугать даже школьника, - вычислить это проще простого: