- За-за-замечательно! - восхищается Тарталья. - Я бы до такого ни-ни-никогда не додумался.
- Не клевещите на себя, дорогой мэтр Тарталья, - протестует Паскаль. Просто вы жили на сто лет раньше, и время формулы сочетаний еще не пришло. А теперь попрошу нашего досточтимого председателя предоставить слово мэтру Лейбницу, ибо я горю желанием узнать, что сделал с арифметическим треугольником он.
- С величайшим удовольствием! - кивает Пифагор. - Тем более что я и сам давно дожидаюсь такого случая.
- Собственно говоря, я шел по стопам мэтра Паскаля, - уголками рта улыбается Лейбниц, - но мой треугольник составлен в обратном порядке. Так сказать, шиворот-навыворот. Прежде всего вместо целых чисел я взял дробные. А уж из этого вытекает и все остальное.
Он вытирает доску влажной тряпкой и пишет на ней другую таблицу.
- Этот свой треугольник я назвал гармоническим, - поясняет он.
- Превосходно! - горячо одобряет Пифагор. - Всегда говорил, что главное в мире - гармония.
- Вполне с вами согласен, - кланяется Лейбниц. - Но название это объясняется тем, что в правом и левом наклонных рядах моего треугольника стоят числа, которые принято называть гармоническим рядом: 1/1,1/2,1/3,1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ... Особенность этого ряда заключается в том, что сумма его членов: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +1/7... не стремится ни к какому определенному числу - иначе говоря, она бесконечна. Не то что, скажем, другой ряд: 1/2 +1/22 + 1/23 + 1/24 +1/25 +... =1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ..., сумма которого стремится к единице. Так вот, если в треугольнике мэтра Паскаля каждое число равно сумме двух чисел, стоящих НАД ним (справа и слева), то в моем треугольнике каждый член равен сумме чисел, стоящих ПОД ним (также справа и слева). Например 1/6 =1/12 + 1/12. А потому, если в треугольнике мэтра Паскаля общий член выражается формулой , то в моем он выглядит так: .
Вот, например, в третьем ряду сверху второй член таков:
- О-о-очень любопытно! - восклицает экспансивный Тарталья.
- Но это еще не все! - продолжает Лейбниц. - Выберем какой-нибудь наклонный ряд - скажем, второй: 1/2 1/6 1/12 1/20 1/30 1/42. Начнем вычисление с любого, хотя бы со второго его члена, то есть с 1/6. Тогда из сказанного о законе образования членов треугольника прежде следуют такие равенства:
1/6-1/12=1/12
1/12-1/20=1/30
1/20-1/30=1/60
1/30-1/42=1/105
.....................
Сложим почленно правые и левые части этих равенств. Все равные слагаемые в левых частях, имеющие противоположные знаки (плюс и минус), взаимно уничтожатся, и останется только первое число 1/6. Значит, 1/6 = 1/12 +1/30 + 1/60 + 1/105+ ... Но ведь правая часть этого равенства есть сумма всех чисел следующего за этим наклонного ряда, начиная с 1/12 и до бесконечности. И если в треугольнике мэтра Паскаля каждый член равен конечной сумме чисел, стоящих СЛЕВА и расположенных НАД данным числом, то в моем треугольнике каждое число равно бесконечной сумме чисел, стоящих СПРАВА и ПОД данным.
Вот, собственно, и всё.
Паскаль встает и горячо пожимает руку слегка утомленному оратору.
- Благодарю! Благодарю вас, многоуважаемый мэтр Лейбниц, от имени всех присутствующих, а от себя - особенно. Ваши бесконечные ряды доставили мне бесконечное удовольствие. Потому что бесконечность во всех ее проявлениях предмет моего самого пристального внимания.
- Если так, - говорит Лейбниц, - попросите нашего достопочтенного председателя предоставить слово мэтру Ньютону, и вы получите удовольствие еще большее. Ибо он использовал вашу общую с мэтром Ферма формулу весьма неожиданно. Причем бесконечность в этом случает играет не последнюю роль.
Тут раздаются аплодисменты, и мэтр Исаак Ньютон, раскланиваясь, поднимается со своего места.
- Прежде чем перейти к сути дела, - говорит он, - хочу обратить ваше внимание на одно обстоятельство. Подобно мэтрам Паскалю и Ферма, мы с мэтром Лейбницем также совершили одно и то же открытие. Это дифференциальное и интегральное исчисление. Надо, однако, признать, что открытие это - всего лишь завершение того, что начато нашими предшественниками. В первую очередь мэтрами Паскалем и Ферма, а также отсутствующим здесь мэтром Декартом.
Слова его встречены бурным одобрением. Все встают и долго рукоплещут.
- А теперь перейдем к вопросу, затронутому мэтром Лейбницем, продолжает Ньютон, дождавшись тишины. - Должен снова оговориться. Формула разложения степени бинома носит мое имя не совсем справедливо. Ею пользовались задолго до меня. О моей роли в ее судьбе я как раз собираюсь рассказать. Для начала запишу эту формулу в ее обычном виде.
Он вытирает доску, и на ней появляется следующее выражение:
- Здесь, - поясняет он, - коэффициенты в каждом члене, как вам уже известно, есть сочетания из n по нулю, по единице, по два, по три и так далее, то есть
Что же нового внес в эту формулу я? Только то, что предложил обобщить ее, иначе говоря, не ограничивать целым числом для n, а распространить на любые значения показателя степени - дробные, отрицательные... При этом формула сочетаний, выведенная мэтрами Паскалем и Ферма, тоже становится обобщенной. Что же касается самой степени бинома, то она раскладывается в бесконечный ряд. - Тут мэтр Ньютон предупредительно оборачивается к Паскалю. - Вот в каком виде я предлагаю ее записывать:
Например, для n = получится такой ряд:
Или
Сохраняя любое число слагаемых в правой части, можно вычислить эту сумму с любой степенью точности. Само собой разумеется, что икс в нашей формуле меньше единицы.