1 = 1 (1 слагаемое)
3 = 3 (1 слагаемое)
10=3+7 (2 слагаемых)
29 = 3+7+19 (3 слагаемых)
81 = 3+7+19+23+29 (5 слагаемых)
220 = 3+7+19+23+29+31+37+71 (8 слагаемых)
589 = 3+7+19+23+29+31+37+43+67+71+79+83+97 (13 слагаемых)
1563 = 3+7+19+23+29+31+37+43+67+71+ 79+83+97+101+103+107+109+113+131+ 137 + 173 (21 слагаемое)
- Чуете? - спросил Мате, закончив таблицу и торжествующе посмеиваясь.
Но Фило лишь виновато хлопал глазами.
- Эх вы!- пристыдил его Мате. - Да тут и ребенку ясно, что количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.
- Но это же замечательное открытие! - бурно обрадовался Фило.
- До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.
- Так найдите общее доказательство.
- Только и всего? - Мате язвительно осклабился. - Попробуйте-ка сами!
- Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, отшутился Фило. - К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.
- Наоборот! - энергично запротестовал Мате. - Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она чревата самыми непредвиденными открытиями, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко оцениваю этот удивительный числовой ряд. А теперь...
Он засунул руку в карман, позвякал там медяшками и без всякого видимого перехода предложил Фило отгадать, сколько монет у него в кармане. Фило обиделся: за кого его принимают? Факир он, что ли?
- Ладно! - смилостивился Мате. - Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам некоторые наводящие данные. В кармане у меня только трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.
- Так бы сразу и сказали! Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет - через у. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5х, а трехкопеечных - на 3у. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5х + 3у = 49.
- Ставлю вам пять с плюсом, - сказал Мате. - Уравнение отличное. Но как вы его решите?
Фило призадумался. Попробуйте-ка решить одно уравнение с двумя неизвестными!
- Не беда, - утешил его Мате. - Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте попробуем подобрать эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: х = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 х 1+ 3у = 49. Отсюда 3у = 44, а у=44/3
- Простите, 44/3 не целое число...
- Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 х 2 + 3у = 49. Отсюда 3у = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.
- Браво! - ликовал Фило. - Задача решена!
-Экий вы быстрый! А ну как есть другое решение? А вдруг у меня не два, а пять пятачков? Возможно это или невозможно?
- Сейчас узнаем. 5 х 5 + 3у = 49. Отсюда 2у = 24, у = 8. Вот так компот! Выходит, у задачи не одно решение.
- Как видите.
- Поискать, что ли, другие?
И Фило принялся за поиски. Перебрав варианты х= 3, 4, 6 и 7, он убедился, что ни один из них невозможен. Зато при х = 8 игрек оказался равным 3. Таким образом к прежним двум прибавилось еще одно, третье решение. Однако вариант х = 9 опять не подошел. Фило собрался было подставить х = 10, но Мате, смеясь, остановил его: ведь в этом случае одних пятачков было бы на 50 копеек, а у него всего 49. Значит, дальнейшие поиски бессмысленны.
- Итак, - подытожил он, - мы выяснили, что уравнение имеет три решения: 1) х = 2, у = 13; 2) х = 5, у = 8; 3) х = 8, у = 3. Следовательно, в кармане у меня либо 15, либо 13, либо 11 монет.
Фило неодобрительно поджал губы. Ну и точность! Тут уж бабушка не надвое, а натрое гадала.
- Потому-то уравнения такого рода и называются неопределенными, разъяснил Мате. - Кроме того, наше уравнение отличается от других неопределенных еще и тем, что по условию ответ его должен быть обязательно в целых числах.
- Не понимаю, - надулся Фило, - кому нужны уравнения с несколькими ответами?
- Не скажите. Неопределенные уравнения интересовали математиков с глубокой древности. Ими занимались еще в Древней Индии! Но особенно подробно изучал их грек Диофант. Он рассмотрел многие неопределенные уравнения вплоть до четвертой степени и нашел для каждого все возможные решения в целых числах. Потому-то уравнения такого рода стали называть диофантовыми, хотя общего метода решения их Диофант не обнаружил.
- Но для чего все-таки нужны такие уравнения? Где они используются?
- Везде. В любой науке, в любой отрасли народного хозяйства - всюду, где мы имеем дело только с целыми числами. Вот, например, может ли фабрика выпустить не целое число шляп, скажем, 245 с четвертью? Можно ли запустить в космос полтора спутника? Бывает ли в табуне не целое число лошадей? Разумеется, нет. Таких задач, которые должны быть решены только в целых числах, великое множество. Понимаете теперь, какое важное место в нашей жизни занимают диофантовы уравнения?
- Понимаю, понимаю, - сдался Фило. - Но вам не кажется, что мы слишком отдалились от первоначальной темы нашего разговора? Говорили о числах Фибоначчи, потом ни с того ни с сего перескочили на диофантовы уравнения...
- Это вы называете "ни с того ни с сего"? Да ведь между ними самая прямая связь! Да будет вам известно, что десятая проблема Гильберта, решенная посредством чисел Фибоначчи, касается именно диофантовых уравнений! Она предлагает указать способ, с помощью которого после конечного числа операций возможно установить, разрешимо ли данное диофантово уравнение в целых числах.
- Вот оно что! - сообразил Фило. - Стало быть, именно этот способ и нашел Юрий Матиясевич?
Мате замялся.
- Жаль вас огорчать, но все было как раз наоборот. Матиясевич разрешил десятую проблему в отрицательном смысле. Он доказал, что такого способа в общем виде не существует.
- Ууу! - разочарованно протянул Фило. - Так десятая проблема Гильберта оказалась бесполезной?
Мате сердито замахал руками. Что за чепуха! Во-первых, метод, который применил Матиясевич, разрешая десятую проблему, представляет огромную ценность для математики уже сам по себе. Во-вторых, вывод его избавил ученых от дальнейших поисков в этом направлении. И наконец, в-третьих, десятая проблема Гильберта привела к возникновению новой ветви математики, которая называется теорией алгоритмов. А это такое... такое...