- Все это очень хорошо, - мнется Фило, - но весь вопрос в том, как вычислить коэффициенты заранее? Тем более - их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, - что тогда?
- Хороший вопрос, - одобряет Асмодеи. - Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря - для любой степени бинома: О плюс Р в степени n.
- Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, - предлагает Мате. - Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.
(О+Р)0 = 1,
(О+Р)1 = О+Р,
(О+Р)2 = O2 + 2OР + P2,
(О + Р)3 = О3 + ЗО2Р + ЗОР2 + Р3,
(О + P)4 = О4 + 4O3Р + 6O2P2 + 4OР3 + Р4.
Остается выписать отдельно все коэффициенты:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
- Ой, - изумляется Фило, - ведь это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.
- Умница! - одобрительно зыркает на него Мате. - Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.
Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить все эти неожиданные для него совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему это Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились вдруг к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.
- Вообще, как я погляжу, - продолжает он уже вслух, - в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек...
- ...которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, развивает его мысль Асмодей. - Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой, течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаака Ньютона и немца Готфрида Лейбница.
- Бесспорно, - поддерживает его Мате. - Возьмем механику. Все, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.
- А математика, мсье? - перебивает Асмодей. - Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, разве не приведет это в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?
- Не забудьте про комбинаторику, - суетится Мате, - науку о всевозможных группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой усердно занимались и Ферма, и Паскаль, и Гюйгенс63, который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома, широко известном под названием бинома Ньютона.
Фило озабоченно хмурится.
- Бином Ньютона... Все это уж было когда-то, но только не помню, когда, - декламирует он себе под нос. - Кажется, в десятом классе...
- С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, ехидничает Мате. - Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. - Он снова хватается за свой неизбежный блокнот. - Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С...
- От французского "комбинезон" - "сочетание", - поясняет Асмодей.
- При этом справа от С ставятся два индекса, - продолжает Мате, пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний - число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два -. А в общем виде число сочетаний из n предметов по k - . Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р,- чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:
(О+Р)n =On + On-1P + On-2P2 + On-3P3 + ...+ Оn-kPk +...+ Рn.
- А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? - недоумевает Фило.
- Могли бы и не спрашивать! Вы ведь уже знаете, что вероятность события есть отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных. И стало быть,
Мате хочет еще напомнить, что 2n, то бишь сумма всех коэффициентов в разложении степени бинома, это и есть число всех возможных случаев, но вдруг умолкает на полуслове и начинает прислушиваться. Вместо звона монеты и пьяных голосов из караулки теперь доносятся совсем другие, довольно-таки устрашающие звуки.
- По-моему, это храп, - говорит он почему-то шепотом, хотя как раз сейчас опасаться, казалось бы, нечего.
- Да, - соглашается Асмодей. - Похоже, они уже того... готовы.
- Так что же мы здесь сидим! - ахает Фило. - Чего доброго, опоздаем на премьеру.
И, осторожно перешагнув через спящих на полу мушкетеров, компания благополучно достигает противоположной двери караулки, которая выпускает их в сад.
ВЕРСАЛЬСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
- Чертог сиял! Гремели хором певцы при звуках флейт и лир, - упоенно декламирует Фило, любуясь освещенным дворцом, за окнами которого снуют фигуры причудливо разодетых гостей.
- Не увлекайтесь, мсье, - остерегает его бес. - Поэты ревнивы. Уместно ли, собираясь на спектакль Мольера, цитировать Пушкина?
Тот назидательно поднимает палец.
- Пушкина, к вашему сведению, уместно цитировать всегда! Но мне что-то не нравится эта суета за окнами. Что она означает? Может статься, антракт?
Асмодей делает постное лицо.
- Если бы, мсье!
- Как?! Вы хотите сказать, что представление уже окончилось? Уж эта мне шляпа! Знал бы я, что из-за нее потеряю, никогда не стал бы ее разыскивать...
Но черт полагает, что все к лучшему. Опоздали на одно представление посмотрят другое, не менее интересное. Кстати, оно уже начинается.