— Отчего же только Пифагора? Фигурными числами занимались еще в Древнем Вавилоне… Так вот, заинтересовавшись фигурными числами, я стал их выкладывать из чего придется. Чаще всего из яблок. Выложу, например, как сейчас, несколько равносторонних треугольников. Первый треугольник — условный, он состоит из одного яблока. Второй — из трех, следующий —из шести, затем — из десяти.
— В общем, получился ряд треугольных чисел. Но что из этого следует? — торопит Паскаль.
— Теперь выложим яблоки пирамидками и получим пирамидальные числа, — тянет Ферма, словно не замечая нетерпения собеседника. — Один, четыре, десять, двадцать…
— А дальше? К чему вы клоните?
— Просто мне захотелось узнать, как вычислить заранее, сколько понадобится яблок, чтобы выложить любое фигурное число, взятое, скажем, из ряда треугольных: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28… Или из пирамидальных: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84… Попутно я загорелся желанием выяснить, сколько вариантов группировок можно составить из некоего количества предметов или чисел.
По мере того как он говорит, лицо Паскаля становится все более напряженным.
— Так, так, продолжайте, — понукает он.
— Допустим, у нас есть восемь яблок, а лучше — восемь разноцветных шариков. Мы хотим узнать, сколько можно составить из них всевозможных группировок, раскладывая каждый раз по три шарика.
— Иными словами, найти число сочетаний из восьми по три.
Ферма глядит на Блеза с откровенным восхищением. Опять определение, и какое! Но Паскалю не до похвал.
— Не отвлекайтесь, прошу вас. Дальше, дальше…
Ферма пожимает плечами. Что же может быть дальше? Само собой, он стал искать способ, позволяющий определять число сочетаний.
— И нашли?!
— Ничего другого мне не оставалось.
Блез в изнеможении откидывается на спинку дивана. Невероятно!
— Не понимаю, что вас поражает? — в свою очередь обескуражен Ферма. — Мой способ очень прост. Кажется, мы собирались найти число сочетаний из восьми по три? Отлично. Для этого пишем подряд все натуральные числа от единицы до восьми включительно. Затем объединяем три числа, стоящие слева: 1, 2, 3, и три числа, стоящие справа: 8, 7, 6, а потом перемножаем каждую тройку чисел и составляем из их произведений дробь. При этом левая часть будет знаменателем, а правая — числителем. Итак, что у нас получилось?
Паскаль подсчитывает:
Ферма довольно потирает руки. Вот и число сочетаний из восьми по три. Нетрудно заметить, что оно к тому же число пирамидальное. Потому что любое пирамидальное или треугольное число есть в то же время какое-нибудь число сочетаний.
Паскаль все еще сидит, откинувшись на спинку дивана, но сейчас он уже не выглядит растерянным.
— Вы меня удивили, — говорит он. — А теперь ваша очередь удивляться.
На той же полоске, где только что подсчитывал число сочетаний, Блез набрасывает группу чисел и передает бумажку Ферма.
— В то время как вы занимались фигурными числами, я копался в этом числовом треугольнике. Составить его, кстати говоря, побудили меня все те же размышления о теории вероятностей. Я нашел в нем кучу любопытных свойств…
— Именно?
— Сейчас расскажу. Но сперва условимся горизонтальные строки называть просто строками, а вертикальные — столбцами. И те и другие, как видите, перенумерованы начиная с нуля. А теперь обратите внимание, что каждое число в строке равно сумме чисел предыдущей — от единицы по число, стоящее над тем, которое мы рассматриваем. Вот хотя бы число 35 в третьей строке; оно равно сумме чисел, стоящих во второй; 1 + 3 + 6 + 10 + 15. Тем же свойством обладают и числа в столбцах. Еще одно свойство: числа, находящиеся на наклонных линиях — я обозначил их пунктиром, — расположены симметрично: 1, 2, 1; 1, 3, 3, 1; 1, 4, 6, 4, 1 и так далее. И еще одно: сумма чисел, расположенных на каждой наклонной линии, равна двойке в степени порядкового номера столбца иди строки. Например, в четвертом наклонном ряду 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. А это и есть два в четвертой степени… Впрочем, стоит ли утомлять вас перечислением всех свойств? Вы их найдете в письме, которое я недавно отправил в Тулузу.
— Какое совпадение! — гудит Ферма. — Вы мне, а я вам.
— Да ну! — изумляется Паскаль. — Интересно, что сказал бы об этом Марк Аврелий… И все же упомяну еще одно — весьма важное — свойство моего арифметического треугольника: строки и столбцы с одинаковыми номерами неизменно совпадают. Например, столбец номер два и строка номер два представляют собой один и тот же числовой ряд: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36… Легко понять, что это числа треугольные, в то время как следующая строка — ряд пирамидальных. Отсюда, естественно, следует, что каждое из них есть какое-либо число сочетаний. Но самое интересное, что одним из чисел сочетаний являются и все остальные числа этого треугольника. — Паскаль выдерживает эффектную паузу. — Что же касается числа сочетаний, то я вычисляю его почти тем же способом, что и вы.