Но тут караульным надоедает подбрасывать монетку по одному разу, и они решают усложнить задачу.
— Давай вот что, — предлагает один. — Будем бросать по че-чи… ик!.. по четыре раза каждый, а выигрывает тот, у кого три раза из чечи… ик!.. из четырех выпадет Луи…
— Э, ттак дело не ппойдет, — не соглашается другой. — Ддавай бросать по ввосьми раз, и у кого ввыпадет Луи ппп… пять раз, ттот и забирай все деньги…
— Да ты что? — протестует первый. — Бросать нам так до второго пришествия! Давай по чечи…
Тут они начинают галдеть в два голоса, и Фило спрашивает у Мате, кто из караульных, по его мнению, прав. Оказывается, правы оба. Ведь вероятности выпадения что из восьми по пяти, что из четырех по три раза почти одинаковы. Вот если бы игроки условились, что при восьми бросках должен выпасть только один Луи, а то и вовсе ни одного, тут уж вероятность и вправду сильно уменьшится.
— Давайте разберемся, — предлагает Асмодей. — Только будем уж называть не Луи и лилия, а попросту орел и решка.
— Прибегнем к буквенным обозначениям, — начинает Мате, пристраивая блокнот на острых атласных коленках. — Орел — О, решка — Р. Думаю, всем ясно, что при одном броске вероятности выпадения О и Р совершенно одинаковы, то есть равны половине. Таковы же вероятности выпадения О и Р при каждом последующем, отдельно взятом броске, независимо от результатов предыдущих.
— Разумеется, мсье, — поддакивает бес. — Недаром французский математик Жозеф Бертран когда-нибудь, в девятнадцатом веке, остроумно заметит, что монета не имеет ни совести, ни памяти. Ей наплевать, какой стороной она соизволила шлепнуться в предыдущие разы. И это, кстати, имеет немаловажное значение в теории вероятностей.
— Если же, — продолжает Мате, — при двух бросках учитывать результаты обоих, то возможны четыре случая: ОО, ОР, РО и РР. И если, сверх того, по условию игры очередность выпадения О и Р безразлична, то в имеющемся у нас ряде случаев элементы ОР и РО можно заменить их суммой: 2ОР. Ибо ОР + РО = 2ОР. Так ведь? С другой стороны, (О + Р)2 = О2 +2ОР + P2, а это и есть OO + 2OР + РР.
— Посмотрим теперь, что происходит при трех бросках. Здесь уже возможны восемь случаев:
ООО, ОРО, РОО, РРО, PPP, OOP, OPP, POP.
Преобразуем это хозяйство тем же способом: ООО, 3ООР, 3ОРР, РРР. И снова (О + Р)3 = О3 + ЗО2Р + ЗОР2 + Р3. При четырех бросках в нашем распоряжении уже 16 случаев. Стало быть, (О+Р)4 = О4 + 4О3Р + 6О2Р2 + 4ОР3 + Р4. Взглянув на все это вместе, мы увидим, что все время имеем дело с двучленом, иначе говоря, биномом 0 + Р, возводимым каждый раз в иную степень. Причем показатель степени бинома соответствует числу бросков. При двух бросках перед нами бином в квадрате, при трех — в кубе и так далее. Затем, обратив внимание на правые части наших неравенств, увидим, что показатели степени при О и Р всякий раз указывают на заранее условленное число выпадений О или Р, а числовые коэффициенты при этих слагаемых — на число благоприятных случаев. Сумма же всех этих коэффициентов есть общее число всех возможных случаев. И так как вероятность события — это отношение благоприятных случаев к числу всех возможных, то вероятность выигрыша р в данном случае равна отношению коэффициента соответствующего слагаемого к сумме всех коэффициентов.
— Все это хорошо, — мнется Фило, — но как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, что тогда?
— Хороший вопрос, — одобряет Асмодей. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени п.
— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.
(O + P)0 = 1
(О + Р)1 = О + Р,
(О + Р)2 = О2 + 2ОР + Р2,
(О + Р)3 = О3 + ЗО2Р+ЗОР2+Р3,
(О + Р)4 = О4 + 4О3Р + 6О2Р2 + 4ОР3 + Р4.
Остается выписать отдельно все коэффициенты: