— Насколько я понимаю, именно это и нуждается в доказательстве, — капризно замечает Фило.
— Совершенно верно. Так вот, вспомните чертеж, который я наспех набросал там, в Руане, на крыше. Впрочем, сейчас я его уточню… Вот, пожалуйста. Попытайтесь разобраться.
— Исключено. — вздыхает Фило.
— Позвольте, мсье, — вмешивается Асмодей. — Как видите, треугольник ОАВ совершенно произвольный, и на каждой его стороне построено по равностороннему треугольнику: ОСА, ADB и ОВЕ. Центры тяжести этих равносторонних треугольников обозначены буквами т, п и р, а из них, как из центров, проведены дуги ОkА, АkВ и ВkО — каждая в 120°. Се си? Так?
— Недурно, — говорит Мате. — Но вы не заметили самого примечательного: все три дуги пересеклись в общей точке k. Удивительная точка.
— Не хуже и не лучше других, — ехидничает Фило.
— Это как для кого, — отбивает удар Мате. — Немецкий математик Ште́йнер полагал иначе. Он доказал, что подобная точка находится в таком месте треугольника, из которого каждая сторона видна под одним и тем же углом — 120°.
— Что значит «видна под углом»? — сейчас же придирается Фило.
— Ну, это просто, мсье, — отзывается Асмодей. — Так математики называют угол между двумя лучами, проведенными из заданной точки через концы отрезка. И стало быть, в данном случае, как я понимаю, речь идет об углах ОkА, АkВ и ВkО. Каждый из них равен 120°. Я понятно изъясняюсь?
— Допустим, — уклончиво бурчит Фило. — Но что из этого следует?
— Только то, — поясняет Мате, — что сумма расстояний от точки k до вершин треугольников ОАВ — то есть kО + kА + kВ — есть наименьшая из всех возможных для всякого треугольника, который не имеет угла, превышающего 120°… А теперь, чтобы двинуться дальше, необходимо провести несколько дополнительных отрезков. Во избежание путаницы сделаю новый чертеж, убрав всё лишнее. А вы глядите в оба — я хочу сказать, в оба чертежа.
Мате быстро набрасывает новый треугольник, обозначив его теми же буквами, что и на предыдущем. Затем соединяет вершины двух треугольников пунктиром и отмечает конгруэнтные стороны (Оm и ОА, Ап и пВ, Вр и рО) одной, двумя и тремя черточками.
— Ну-с, — торжественно произносит он, полюбовавшись своей работой, — теперь перегнем треугольники тАп, пВр и рОт по их непунктирным сторонам. Как вы думаете, где окажутся вершины А, В и О?
— В точке k, мсье, — сейчас же выскакивает Асмодей.
— Отлично! — говорит Мате. — Но что из этого следует?
— В самом деле, что? — хмыкает Фило.
— Да то, что площадь многоугольника ОтАпВрО ровно вдвое больше треугольника тпр, — отвечает Мате. — Остается самое главное. Надеюсь, не надо разъяснять, что отрезок пт есть биссектриса угла Апk, а пр — биссектриса угла kпВ. Это очевидно, так как пт перпендикулярно Аk, а треугольник Апк — равнобедренный. Точно так же: Вk перпендикулярно пр, и треугольник kпВ тоже равнобедренный.
— Но ведь отсюда вытекает, что углы Апт и Впр в сумме равны углу mnp! — взволнованно восклицает Асмодей. — А так как угол АпВ равен 120°, то…
— …угол тпр равен половине от ста двадцати, то есть 60°, — заканчивает Фило. — Это даже я понимаю!
— Растёте на глазах, — ухмыляется Мате. — Ну, а если те же рассуждения применить к углам птр и трп?
— Тогда станет совершенно ясно, что каждый из трех углов треугольника тпр равен 60°, — соображает Фило. — И стало быть, треугольник тпр — рав-но-сто-рон-ний.
— Квод демонстра́ндум э́рат! Что и требовалось доказать, — торжественно заключает Асмодей.
— Не забудьте рассмотреть еще два частных случая первоначального треугольника, — напоминает Мате, — когда сумма двух сторон равна третьей и когда одна из сторон равна нулю. — Он протягивает Фило и Асмодею заранее заготовленные чертежики. — Как видите, моя теорема справедлива также и для них.