Мои результаты после обсуждений А Н. Колмогоров представлял в печать - работы опубликованы в ДАН и других изданиях ([8-17]).
Андрей Николаевич подчеркивал значимость полученных результатов. Он не только отмечал при этом, что его редукция 1925 года (см. [18]) позволяет, используя теоретико-множественную общность, значительно упростить построения и доказательства, сделав их общепонятными и общедоступными, но и впервые обратил внимание на правила вывода теорий, два этажа (посылки и заключение) которых могут быть основой упрощений. Важно при этом выбрать среди всех логически эквивалентных выводимых формул подходящие аксиомы для каждой теории.
Только к концу XX века я понял, что А Н. Колмогоров был прав в своих сомнениях относительно роли теорем Гёделя о неполноте в основаниях современных наук.
В работах автора (см. [8-17] и предшествующие труды автора) все исследования ведутся на фрегевском пути. Однако полученные в них результаты находятся в полном соответствии с теоремами Гёделя о неполноте, поскольку предложенные автором системы и их метатеория основываются на неразрешимом бестиповом нелогическом аппарате теории алгоритмов (алгорифмов) в форме исчислений чистой комбинаторной логики Шейнфинкеля-Карри или А,-конверсии Чёрча. В данном случае теоремы Гёделя о неполноте для предложенных систем даже не формулируются (подробнее об этом сказано в [6], особенно см. гл. III). В [6] же впервые рассказано о действительном месте этих теорем Гёделя в основаниях современной науки при исследовании всех аксиоматических теорий первого порядка.
Таким образом, все известные теории первого порядка доказуемо непротиворечивы (см. [6, 7]) и достаточно богатые из них доказуемо неполны (см. теоремы Гёделя о неполноте). Тем самым Центральная проблема Гильберта не может быть решена на фрегевском пути формализации различных разделов современной науки.
В силу теорем Гёделя о неполноте некоторых аксиоматических теорий 1-го порядка и в силу уже упомянутых парадоксов типа парадокса Рассела, доказуемо полные и доказуемо непротиворечивые интеллектуальные системы (такие, например, как интеллектуальные системы компьютерных логик), в частности, реализующие программу Колмогорова по КМ, естественно строить в их основной логико-предикатной части не как всем известные аксиоматические формульные теории 1-го порядка с собственными не логическими аксиомами, а как вторые, логические, ярусы секвенциальных двухъярусных теорий, базирующихся на знаменитых результатах Кантора, Чёрча и Генцена в основаниях наук и введенных автором по публикациям с 1970 года. Основное внимание сосредоточим на КМ, естественно предполагая распространение результатов на любые интеллектуальные конструкции в их целостности. 114
Алексеевича Рыбникова (1913-2004) в [22] широко известной программы 1666 года [23] Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716). Анализ в [22] проведен без ссылок на известную специфическую интерпретацию теорем Гёделя 1931 года о неполноте как ограничительных в рассматриваемой области знания.
На основе общности программ Лейбница и Колмогорова историко-методологический анализ ряда исследований, проведенных в XIX-XXI вв. от Д. Гильберта до наших дней (особенно школами: Гёттингенской - Гильберта и Московской - Колмогорова), показал:
- принципиальное отличие предложенных и опубликованных автором с 1970 г. секвенциальных исчислений, имеющих два яруса, от широко известных одноярусных Аристотелевских аксиоматических исчислений Гильбертовского типа (с ограничениями теоремами Гёделя о неполноте);
- необходимость изучения по Колмогорову канторовской («наивной») теории множеств с её двумя неограниченными принципами, на основе которых строятся все выводы единой КМ (без каких-либо ограничений).
В работе предлагается вариант реализации программы А.Н. Колмогорова по основаниям математики. Впервые показывается, что КМ (классическая теоретико-множественная математика) доказуемо полностью и доказуемо непротиворечиво (как абсолютно, так и относительно отрицания ] ) представляется одним исчислением (теорией).
Теория строится ступенчато по Андрею Андреевичу Маркову (1903-1979) в виде двухъярусного секвенциального исчисления, названного автором КЧГ (исчислением Кантора-Чёрча-Генцена): первый ярус задаёт неограниченное теоретико-множественное свёртывание Г. Кантора в алгоритмической (вычислительной) форме исчисления ^-конверсии Алонзо Чёрча (1903-1995); второй ярус задаёт классическую логику (предикатов 1-го порядка) в секвенциальной (без постулируемого правила сечения) форме Герхарда Генцена (1909-1945); связь между ярусами обеспечивают правила *Х и X* (пишем: *Х*), введенные автором и названные канторовскими (см., например, [20]). Такие двухъярусные исчисления строятся, следуя идее ступенчатых конструкций А.Н. Колмогорова и А.А. Маркова, исследуются автором на механико-математическом факультете МГУ с 1968 г. и публикуются с 1970 г.
114
Программа Колмогорова по основаниям классической теоретико-множественной математики
Только Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) высказал принципиально новые идеи, приведшие к решению Центральной проблемы Гильберта.
Программа Колмогорова обусловлена его работой 1925 г. «О принципе Tertium non datur» [18, 19] и сформулирована Андреем Николаевичем автору в 1980-1987 гг. (см. статьи [20] «Вариант формализации канторовской теории множеств» (1999 г.), [21] «Решение проблемы Гильберта по Колмогорову» (2000 г.) и настоящую работу).
Автор осознал существование и величие программы Колмогорова только к 1994 году, когда познакомился с анализом Константина