Самый восхитительный метод, который предстояло изучать Набу-Шамашу, коль скоро речь идет о нашей главной теме — симметрии, — это метод решения квадратных уравнений. Нам много всего известно о вавилонских методах решения уравнений. Из примерно миллиона известных вавилонских глиняных табличек около пятисот посвящены математике. В 1930 году востоковед Отто Нейгенбауэр понял, что запись на одной из этих табличек демонстрирует полное понимание того, что мы называем квадратными уравнениями. Это уравнения, которые содержат неизвестную величину и ее квадрат, перемешанные с различными конкретными числами. Без квадрата уравнение называлось бы «линейным», и такие уравнения решать проще всего. Уравнение, в которое входит куб неизвестного (т.е. неизвестное, умноженное на себя, а потом еще раз на себя), называется «кубическим». Вавилоняне, по-видимому, знали хитрый способ нахождения приближенных решений определенных типов кубических уравнений на основе численных таблиц. Однако все, в чем мы можем быть уверены, — это существование самих таблиц. Можно только предполагать, для чего они использовались, и наиболее вероятный кандидат — кубические уравнения. Но из табличек, которые изучал Нейгенбауэр, ясно следует, что квадратные уравнения писцы освоили полностью.
Типичное квадратное уравнение, которому около 4000 лет, формулируется так: «Найти сторону квадрата, если площадь минус сторона составляет 14,30». Сюда входит квадрат неизвестного (площадь квадрата), а также само неизвестное. Другими словами, в задаче требуется решить квадратное уравнение. На той же табличке довольно бесцеремонно приводится решение: «Возьми половину от 1, что есть 0;30. Умножь 0;30 на 0;30, что даст 0;15. Прибавь это к 14,30, и получишь 14,30;15. Это квадрат числа 29;30. Теперь прибавь 0;30 к 29;30. Результат равен 30 — стороне квадрата».
Что же тут делается? Запишем все эти действия в современных обозначениях.
| Возьми половину от 1, что есть 0;30 | 1/2 |
| Умножь 0;30 на 0;30, что есть 0;15 | 1/4 |
| Прибавь это к 14,30, и получишь 14,30;15 | 8701/4 |
| Это квадрат числа 29;30 | 8701/4 = (291/2)×(291/2) |
| Теперь прибавь 0;30 к 29;30 | 291/2 + 1/2 |
| Результат равен 30, стороне квадрата | 30 |
Самый сложный шаг — четвертый, где требуется найти число (равное 291/2), квадрат которого составляет 8701/4. Число 291/2 есть квадратный корень из 8701/4. Квадратные корни — основное средство для решения квадратных уравнений, а когда математики попытались применить подобные же методы к решению более сложных уравнений, и родилась современная алгебра.
Ниже мы интерпретируем эту задачу, используя современные алгебраические обозначения. Но важно понимать, что вавилоняне не использовали алгебраические формулы как таковые. Вместо этого под видом типичного примера они описывали конкретную процедуру, которая и приводила к ответу. Но ясно, что они осознавали, что в точности та же самая процедура сработает, если взять другие числа.
Коротко говоря, они умели решать квадратные уравнения, и именно их метод — хотя и не в том самом виде, как они его выражали — мы используем по сей день.
Как вавилоняне смогли открыть свой метод решения квадратных уравнений? Прямых свидетельств у нас нет, но кажется правдоподобным, что они натолкнулись на него, рассуждая геометрически. Возьмем более простую задачу, которая приводит к тому же рецепту. Предположим, что мы нашли табличку, на которой говорится: «Найти сторону квадрата, если площадь плюс две стороны равна 24». В более современных терминах — квадрат неизвестного плюс удвоенное неизвестное равно 24. Это можно представлять себе так, как показано на рисунке.
Геометрическое представление квадратного уравнения.
Здесь вертикальный размер квадрата и прямоугольника слева от знака равенства соответствует неизвестному, а малые квадраты имеют единичный размер. Если разбить высокий прямоугольник пополам и приклеить два полученных куска к квадрату, то получится фигура, имеющая вид квадрата с одним недостающим углом. Рисунок подсказывает, что надо «дополнить квадрат» путем прибавления к обеим частям уравнения недостающего угла.