Кроме чисел 5 и 8 в этой книге появятся некоторые другие, среди которых надо в первую очередь отметить 14, 52, 78, 133 и 248. Эти любопытные числа представляют собой размерности пяти «исключительных групп Ли», и их влияние пронизывает всю математику и значительную часть математической физики. Эти числа — главные действующие лица в математической драме, тогда как другие числа, с первого взгляда мало чем отличающиеся, — всего лишь статисты.
Математики открыли, насколько эти числа особенные, в конце девятнадцатого столетия, когда родилась современная абстрактная алгебра. Существенны не числа сами по себе, но роль, которую они играют в основаниях алгебры. С каждым из этих чисел связан математический объект, называемый группой Ли и обладающий уникальными и замечательными свойствами. Эти группы играют фундаментальную роль в современной физике, они связаны с глубокими структурами пространства, времени и материи.
Это и подводит нас к заключительному сюжету — фундаментальной физике. Физики давно задавались вопросом, почему пространство имеет три измерения, а время — одно; иными словами, почему мы живем в четырехмерном пространстве-времени? Теория суперструн — самая современная попытка объединить всю физику в единое целое, управляемое набором взаимосогласованных законов — привела физиков к вопросу, может ли пространство-время иметь дополнительные «скрытые» измерения. Идея может показаться бредовой, но у нее имеются неплохие исторические прецеденты. Из всех свойств теории суперструн присутствие дополнительных измерений вызывает, наверное, меньше всего возражений.
Куда больше вопросов вызывает другое свойство — вера в то, что формулировка новой теории пространства и времени зависит главным образом от той математики, на которой основаны теория относительности и квантовая теория — два столпа, на которых покоится современная физика. Объединение этих взаимно противоречащих теорий воспринимается как математическое упражнение, а не как процесс, требующий новых революционных экспериментов. Ожидается, что математическая красота сыграет роль необходимого предварительного условия для физической истины. Это допущение может таить в себе опасность. Важно не потерять из виду физический мир, так что, какая бы теория в конце концов ни родилась из современных построений и какой бы замечательной ни была ее математическая родословная, она не освобождается от проверки экспериментами и наблюдениями.
Как бы то ни было, на данный момент имеются веские причины придерживаться математического подхода. Одна такая причина состоит в том, что до тех пор, пока по-настоящему убедительная объединенная теория не сформулирована, никто не знает, какие эксперименты осуществлять. Другая причина в том, что математическая симметрия играет фундаментальную роль как в теории относительности, так и в квантовой теории — в двух областях, демонстрирующих значительный дефицит взаимно согласованных позиций, — так что особую ценность приобретают любые, пусть даже совсем небольшие области, в которых такой согласованности удается добиться. Возможные структуры пространства, времени и материи определяются своими симметриями, и некоторые из наиболее важных возможностей могут быть связаны с исключительными структурами в алгебре. Может быть, пространство-время обладает теми свойствами, которые мы наблюдаем, потому что математика допускает к участию в финальном туре только небольшое число специальных форм. Если так, то вполне разумно прислушиваться к тому, что говорит математика.
Почему вселенная выглядит столь математической? На этот вопрос предлагались разнообразные ответы, но ни один из них не кажется мне достаточно убедительным. Отношения симметрии между математическими идеями и физическим миром, равно как и симметрия между нашим чувством красоты и наиболее глубокими и важными математическими формами, представляют собой глубокую и, быть может, неразрешимую загадку. Никто из нас не знает, почему красота есть истина, а истина — красота. Все, что нам остается, — это созерцать бесконечное разнообразие их взаимоотношений.
Глава 1
Вавилонские писцы
Через земли, занимаемые сегодня Ираком, протекают две самые знаменитые в мире реки. Им обязаны своим существованием возникшие там замечательные цивилизации. Они берут исток в горах восточной Турции, пересекают сотни миль плодородных равнин и сливаются в единый поток, устье которого выходит в Персидский залив. С юго-запада эта область ограничена сухими пустынными землями Аравийского плато, а с северо-востока — негостеприимными грядами Анти-Тауруса и Загроса. Эти две реки — Тигр и Евфрат, протекающие сегодня практически тем же курсом, что и четыре тысячи лет назад, когда они пересекали древние земли Ассирии, Аккада и Шумера.