равна бесконечности.
По словам самого Николая Орезмского, причина, по которой сумма гармонического ряда
равна бесконечности, такова: «К величине, равной 1, прибавим 1/2, 1/3, 1/4 и следующие дроби, сумма которых равна бесконечности. В самом деле из членов этого ряда можно составить бесконечное число групп, сумма которых будет больше 1/2.
Так, 1/3 + 1/4 больше 1/2, так как каждое из двух слагаемых больше 1/4.
Аналогично,
больше 1/2, так как каждое из четырех слагаемых больше 1/8.
Аналогично
больше 1/2, так как каждое из восьми слагаемых больше 1/16, и так до бесконечности».
Наука в Европе XVII века
Перед тем как рассказать об открытиях, совершенных в XVII веке, в результате которых появился анализ бесконечно малых, будет уместно описать ситуацию в европейской науке начала XVII века.
Во-первых, нужно уточнить, что математика и наука в целом тогда не были уделом профессионалов, как в наше время. В университетах не проводились научные исследования, а полученные результаты обычно не изучались более подробно — можно сказать, что это было не принято. Почти никто из ученых, о которых мы расскажем на следующих страницах, не был профессиональным математиком: некоторые были юристами, другие — архитекторами, дипломатами, богословами, и лишь очень немногие зарабатывали на жизнь математикой или же были как-то связаны с университетами. Поэтому когда мы называем кого-либо математиком, это означает, что этот ученый внес вклад в развитие математики, но мог иметь совершенно иную сферу профессиональных и научных интересов.
Это привело к ряду неудобств. Исследователи объединялись вокруг одного ученого или любителя науки, подобные группы часто были изолированными друг от друга или враждовали, что было вызвано вопросами патриотизма или спорами о научных состязаниях или турнирах, которые в ту эпоху проводились очень часто. По всем этим причинам полученные результаты распространялись неэффективно: как правило, о них упоминали в письмах друзьям или знакомым, далее, спустя некоторое время (иногда крайне длительное) эти знания оформлялись в виде книг, которые также не становились достоянием широкого круга.
В этих условиях лучшее математическое образование давали не университеты, а отдельные ученые. Одним из ведущих научных обществ первой половины XVII века была Accademia Nazionale dei Lincei (Национальная академия деи Линчей), в которой состоял Галилей. Академия была основана в Риме в 1603 году и прекратила свое существование спустя 30 лет. Центром, возможно, важнейшего научного общества был монах францисканского ордена минимов Марен Мерсенн (1588—1648). Мерсенн, который жил в Париже начиная с 1610-х годов, создал кружок математиков и ученых, встречи которого проводились еженедельно. Мерсенн помогал многим европейским ученым и философам поддерживать переписку с Дезаргом, Ферма и Паскалем (последний начал посещать встречи кружка в конце 1630-х, будучи еще подростком). Кружок также способствовал распространению философских трудов Декарта и астрономических трактатов Галилея. Помимо организаторской работы, Мерсенн также внес вклад в математику и акустику.
В начале XVII века было восстановлено практически все математическое и научное наследие Древней Греции, сохранившееся после бурных времен Средневековья. Хотя «Начала» Евклида и другие базовые труды были хорошо известны и изучены, более глубокие и сложные трактаты, в частности книги Архимеда, были поняты лишь несколько десятилетий спустя. Их освоение сыграло решающую роль в создании анализа бесконечно малых. Некоторые из отцов-основателей исчисления, в частности Валлис и Барроу, имели в личной библиотеке экземпляры трудов Архимеда. Достаточно сказать, что Архимед был наиболее цитируемым автором во всех книгах о вычислении площадей и объемов, написанных в течение всего этого столетия.
Однако один из аспектов математики Архимеда и древнегреческой математики вообще радикально изменился. Речь идет о логической строгости изложения. Математика XVII века была намного менее строгой и четкой, чем древнегреческая. Может показаться, что это был шаг назад, однако именно эта смена парадигмы в итоге позволила преодолеть границы, обозначенные в древнегреческой математике, и, в частности, создать математический анализ. В отличие от ученых Древней Греции, математиков XVII века интересовали открытия, а не безупречно строгие доказательства.
Чем была вызвана эта смена парадигмы? Этому можно привести различные объяснения, в том числе и философские: ученые XVII века не находились под влиянием философии Платона, которой и была обусловлена строгость логического изложения, свойственная греческой математике. Причины этому могут носить исторический характер: XVI и XVII века были временем самых разнообразных открытий: географических (открытие Америки в конце XV века стало результатом не точных логических рассуждений, а, напротив, ошибки Колумба при вычислении радиуса Земли), астрономических (гелиоцентрическая теория Коперника), медицинских (кровообращение) и технических (изобретение книгопечатания Гуттенбергом, создание микроскопа и телескопа).
Математики предпочитали уделять основное внимание разработке новых методов, с помощью которых можно было совершать открытия, не заботясь о логической строгости этих методов. В рамках такого подхода бесконечность использовалась без аристотелевских ограничений, и бесконечно малые и бесконечно большие величины стали применяться очень широко. Изначально они применялись для вычисления площадей, объемов, углов наклона касательных, центров тяжести, максимумов, минимумов и так далее. Решением этих задач занималась целая плеяда математиков начала XVII века, так называемые предшественники математического анализа. Позднее бесконечно малые позволили Ньютону и Лейбницу создать две похожие версии анализа бесконечно малых. Наконец, уже в XVIII веке Эйлер, несомненно, великий знаток бесконечного, создал математический анализ, в котором функции изучались с помощью методов анализа бесконечно малых.
Если говорить об обстоятельствах, способствовавших созданию исчисления, следует упомянуть еще об одном крупном направлении в математике XVII века — аналитической геометрии.
Существует еще одна причина, которую можно назвать теологической, благодаря которой в XVII веке бесконечность стала использоваться более свободно, чем в Древней Греции. Это связано с восприятием бесконечности как атрибута всемогущего христианского Бога. Следуя заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бесконечность, но им не оставалось другого выбора, кроме как перевести это понятие в область богословия. Так, Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую актуальную бесконечность.
Такая трактовка достаточно часто встречается в трудах философов XVII века. Подтверждение этому мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum), то есть субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», а также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реальность, какую только возможно».