Математика — не наука о непонятных символах. Это наука идей: идей о пространстве, времени, числах и их взаимоотношениях. Это наука о количественных соотношениях, развитие и усложнение которых отражают поиски знания. Любые идеи рождаются из образа. С ростом вычислительных возможностей математика родилась заново — как визуальная наука. Самые невероятные структуры, которые можно отыскать в хаотических сложных системах, прорываются сквозь лес символов и открывают для всех и каждого возможность своими глазами увидеть математический пейзаж. Возникает новая эстетика, в которой математическая точность сочетается с художественной выразительностью. Большая часть этой книги подтверждает факт, что эта смесь в той или иной степени присутствует везде и всюду. Эти два аспекта культуры — точность и выразительность — обручились очень давно, хотя так и не сумели предстать перед алтарем.
1. Начало начал
В любой книге должна быть первая глава со вступительным словом. История — не слишком однозначный и четкий предмет, так что поиск первого использования чисел — это путешествие в туманное прошлое к истокам человеческой жизни и цивилизации. Археологи и другие ученые пытаются выложить мозаику нашей праистории из жалкой горстки мелких обломков. Новые открытия не просто становятся дополнительными кусочками головоломки, они могут радикально изменить всю картину прошлого и наше отношение к нему. Мы всегда должны помнить об этом, глядя на самые ранние свидетельства математической деятельности, а также на математические культуры Месопотамии и Египта.
Самое раннее свидетельство записи чисел было раскопано в Свазиленде (Южная Африка). Это малоберцовая кость бабуина с двадцатью девятью четкими пометами, относящаяся относящиеся к 35-му тысячелетию до нашей эры. Она напоминает календарные палочки, до сих пор использующиеся в Намибии, — они позволяют фиксировать ход времени. В Западной Европе также были найдены кости неолитического периода. На лучевую кость предплечья волка, найденную в Чешской Республике и датированную 30-м тысячелетием до нашей эры, нанесено пятьдесят пять меток, разбитых на два ряда из пяти групп. Возможно, это долговая палочка, а возможно, пометы говорят о количестве убитых животных. Одна из самых интригующих находок — так называемая «кость Ишанго», обнаруженная на берегу озера Эдвардс между Угандой и Демократической Республикой Конго. Ее возраст — более 22 000 лет, и, похоже, это не просто долговая палочка. Микроскопический анализ показал дополнительные отметки, связанные с фазами Луны. Предсказывать полнолуние тогда было необходимо — возможно, по религиозным причинам, а вероятней всего, потому, что видеть ночью было полезно из чисто практических соображений. Неудивительно, что сохранение знаний о движении великих небесных часов стало главной задачей народов неолита. Скорее всего, на становление математики самое большое влияние оказали небо и светила — за счет них развивались астрономия, астрология или космология.
Существуют записи, сделанные в Месопотамии — области, расположенной между реками Евфрат и Тигр, — и относящиеся приблизительно к 3500-м годам до нашей эры. В этом регионе сменилось несколько культур. На смену древним шумерам и аккадцам пришли мастера по работе с железом — хетты, которые, в свою очередь, отступили перед внушающими страх ассирийцами. За ними последовали халдеи и их известный царь Навуходоносор, которые были впоследствии изгнаны персами, а тех разбили армии Александра Великого. Центральная власть последовательно концентрировалась в городах Ур, Ниневия и Вавилон. Базовые математические знания пришли из древней Вавилонской империи (1900–1600 до н. э.), на которую заметно повлияли шумеры и аккадцы, а также из империи, которой правила династия Селевкидов — наследников сподвижника Александра Македонского, получивших власть над этим регионом в четвертом столетии до нашей эры. Эти знания явно сформировались под греческим и вавилонским влиянием. В тот период Вавилон занимал ключевое положение в этом регионе, а потому математика часто называется «вавилонской наукой».
Наша современная десятеричная система счисления — это система со знакоместом на основе 10. Другими словами, десять единиц на одном знакоместе эквивалентны одной единице на следующем, более высоком знакоместе, при этом положение цифры в числе определяет ее значимость. На основании самых ранних записей можно показать, что вавилоняне использовали шестидесятеричную, или базирующуюся на основании 60, систему счисления. Она и поныне живет в нашем способе исчисления времени. Таким образом, например, вавилоняне выразили бы число 75 как «1,15», мы тоже записываем 75 минут как 1 час и 15 минут. Приблизительно за 2000 лет до нашей эры появилась система знакоместа, в которой применялось только два клинообразных символа: Т для 1 и < для 10, при этом сохранялась шестидесятеричная основа. Таким образом, 75 записывалось как Т < Т Т Т Т Т Для обозначения ноля символа не существовало. Позиционный символ не использовался до времен новой Вавилонской империи, возникшей в шестом веке до нашей эры, так что следует соблюдать осторожность, читая древние вавилонские числа, поскольку позиционное значение символов надо оценивать в зависимости от контекста. Например, без ноля нам было бы трудно различить числа 18, 108 и 180. Мы не знаем точно, почему вавилоняне предпочитали работать с такой системой, однако она оказалась очень эффективной при вычислениях и выдержала испытание временем, преимущественно за счет использования основы 60 при расчетах минут и секунд и при измерении времени и углов.