Механический метод Архимеда иллюстрируется в работе, носящей название «Послание к Эратосфену о методе». Она считалась утерянной, но в 1906 году была обнаружена в Константинополе. Этот труд был палимпсестом, пергаментом десятого века; он содержал различные работы Архимеда, а затем его использовали в качестве молитвенника, но тексты древнего грека соскребли не окончательно, так что их еще можно было разобрать. (В 1998 году «Послание к Эратосфену о методе» было продано с аукциона за два миллиона долларов.) Метод, который обсуждает Архимед, — по существу, разборка площади на линии, преобразование этих линий, а затем восстановление их в виде другой площади. Точное преобразование было выполнено путем использования Архимедова правила рычага. В некотором смысле ученый уравновесил известную площадь с неизвестной. Положение точки опоры определяет относительные размеры площадей — отсюда термин «механический метод». Архимед утверждал, что это очень полезный эвристический инструмент для получения новых результатов, однако он понимал, что его метод ненадежен, и, когда встал вопрос о получении безупречного результата, вернулся к геометрическому методу. Главная проблема в том, что приходится принять: площадь фигуры может быть составлена из неделимых линий, поскольку линия — это длина без ширины, одномерный объект, и, когда мы мысленно соединяем линии, сумма одномерных объектов остается одномерной и не может дать двумерную площадь. Несмотря на это, Архимед сумел правильно вычислить множество площадей и объемов, включая площадь сегмента параболы, а также центры тяжести объемных тел вроде конуса.
К началу XVII века вырос интерес к построению различных кривых и вычислению их длин, ограничиваемых ими площадей и объемов фигур, получаемых в результате их вращения. Стимулом послужило решение различных задач механики — как статики, так и динамики. Определение центра тяжести предмета математическими методами было очень важным для решения вопроса о его устойчивости и, естественно, представляло большой интерес в таких областях, как архитектура и судостроение. Используемые методы в принципе можно было разбить на две Архимедовы категории, но все сильнее чувствовалось, что, несмотря на логическую форму задачи, методы, в той или иной форме использующие неделимые или бесконечно малые величины, легче приводили к более правильным результатам, чем геометрические методы.
Математика больше не могла избегать понятий бесконечности и бесконечно малых величин — Сциллы и Харибды греческой математики. Кеплер использовал инфинитезимальный метод при вычислении площади сектора эллиптической орбиты, по которому планета проходит за определенное время. Вот еще более впечатляющий пример. В книге под названием «Новая стереометрия винных бочек» (1615) Кеплер рассчитал объем винной бочки, используя бесконечно большое число бесконечно малых дощечек. Галилей верил в реальное существование бесконечности, приводя в пример круг, который он считал многоугольником с бесконечным числом сторон. В то же самое время итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598–1647), ученик Галилея, а с 1629 года — профессор математики в Болонье, издал свой труд, здоровенный том почти в семьсот страниц, посвященный методам вычисления площадей и объемов. В этой работе, именуемой «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635), обсуждались различные методы вычисления неделимых бесконечно малых величин, причем площади плоских фигур считались составленными из неделимых линий, а объемные фигуры предполагались состоящими из неделимых плоских объектов. Самым главным его результатом стала формула площади фигуры, ограниченной кривыми: у = хn при любом целочисленном n.